Rozwiązanie:
[tex]$f(x)=\frac{x\sqrt{x}}{\sqrt{x}-1}[/tex]
Dziedzina:
[tex]x\neq 1 \wedge x\geq 0[/tex]
Pochodna:
[tex]$f'(x)=\frac{\frac{3}{2}\sqrt{x}(\sqrt{x}-1)-\frac{1}{2\sqrt{x} } \cdot x\sqrt{x} }{(\sqrt{x}-1)^{2}} =\frac{\frac{3}{2}x-\frac{3}{2}\sqrt{x}-\frac{1}{2}x }{(\sqrt{x}-1)^{2}} =\frac{x-\frac{3}{2}\sqrt{x} }{(\sqrt{x}-1)^{2}}[/tex]
Druga pochodna:
[tex]$f''(x)=\frac{(1-\frac{3}{4\sqrt{x} })(\sqrt{x}-1)^{2}-2(\sqrt{x}-1) \cdot \frac{1}{2\sqrt{x} } (x-\frac{3}{2}\sqrt{x} ) }{(\sqrt{x}-1)^{4}}[/tex]
Wypukłość i wklęsłość:
[tex]$f''(x)>0 \iff \frac{(1-\frac{3}{4\sqrt{x} })(\sqrt{x}-1)^{2}-2(\sqrt{x}-1) \cdot \frac{1}{2\sqrt{x} } (x-\frac{3}{2}\sqrt{x} ) }{(\sqrt{x}-1)^{4}}>0[/tex]
Mnożymy obustronnie przez mianownik, bo jest zawsze dodatni dla [tex]x \in D[/tex]. Mamy:
[tex]$(1-\frac{3}{4\sqrt{x} })(\sqrt{x}-1)^{2}-2(\sqrt{x}-1) \cdot \frac{1}{2\sqrt{x} } (x-\frac{3}{2}\sqrt{x} ) >0[/tex]
Mnożymy obustronnie przez [tex]\sqrt{x}[/tex] :
[tex]$\Big(\sqrt{x}-\frac{3}{4} \Big)(\sqrt{x}-1)^{2}-2(\sqrt{x}-1) \cdot \frac{1}{2} \Big(x-\frac{3}{2}\sqrt{x}\Big) >0[/tex]
[tex]$\Big(\sqrt{x}-\frac{3}{4} \Big)(\sqrt{x}-1)^{2}-(\sqrt{x}-1) \Big(x-\frac{3}{2}\sqrt{x}\Big) >0[/tex]
[tex]$(\sqrt{x}-1)\Big[\Big(\sqrt{x}-\frac{3}{4} \Big)(\sqrt{x}-1)-x+\frac{3}{2}\sqrt{x} \Big]>0[/tex]
[tex]$(\sqrt{x}-1)\Big[x-\sqrt{x}-\frac{3}{4}\sqrt{x}+\frac{3}{4} -x+\frac{3}{2}\sqrt{x} \Big]>0[/tex]
[tex]$(\sqrt{x}-1)\Big(-\frac{1}{4}\sqrt{x} +\frac{3}{4} \Big)>0[/tex]
[tex]$-\frac{1}{4} x+\frac{3}{4} \sqrt{x}+\frac{1}{4} \sqrt{x}-\frac{3}{4} >0[/tex]
[tex]$-\frac{1}{4} x+\sqrt{x}-\frac{3}{4} >0[/tex]
Podstawiamy [tex]t=\sqrt{x}[/tex], gdzie [tex]t>0[/tex] i mamy:
[tex]$-\frac{1}{4}t^{2} +t-\frac{3}{4} >0[/tex]
[tex]-t^{2}+4t-3>0[/tex]
[tex]\Delta=16-4 \cdot (-1) \cdot (-3)=4[/tex]
[tex]$t_{1}=\frac{-4-2}{-2} =3[/tex]
[tex]$t_{2}=\frac{-4+2}{-2} =1[/tex]
[tex]t \in (1,3)[/tex]
Zatem:
[tex]\sqrt{x} \in (1,3) \iff x \in (1,9)[/tex]
Zatem funkcja [tex]f[/tex] jest wypukła na przedziale [tex]x \in (1,9)[/tex].
Stąd oczywiste jest, że funkcja jest wklęsła na przedziale [tex]x \in (0,1) \cup (9,\infty)[/tex].
Punkty przegięcia:
Z powyższych rozważań mamy:
[tex]f''(x)=0 \iff x=9[/tex]
Na podstawie tychże rozważań wnioskujemy, że punkt [tex]x=9[/tex] jest punktem przegięcia wykresu funkcji [tex]f[/tex].
[tex]$f(9)=\frac{27}{2}[/tex]
