Odpowiedź:
[tex]a_n = (\frac{2}{5})^{n-1}\cdot \frac{63}{5}[/tex]
Szczegółowe wyjaśnienie:
Ciąg geometryczny to ciąg, w którym każdy wyraz począwszy od drugiego jest iloczynem poprzedniego wyrazu i stałego ilorazu ciągu [tex]q[/tex].
Dlatego ciąg geometryczny charakteryzuje ogólny wzór na n-ty wyraz:
[tex]a_n = q^{n - 1}a_1[/tex], gdzie [tex]a_1[/tex] jest pierwszym wyrazem ciągu. Mamy też wzór [tex]a_n = q \cdot a_{n-1}[/tex], wynikający prosto z definicji.
Ciąg geometryczny jest malejący wtedy i tylko wtedy, gdy [tex]0 < q < 1[/tex], rosnący dla [tex]q > 1[/tex] i stały dla [tex]q = 1[/tex] lub [tex]q = 0[/tex]. Dla ujemnego [tex]q[/tex], ciąg geometryczny jest niemonotoniczny.
Zobaczmy, co nam da warunek [tex]\frac{a_5 + a_3}{a_3} = \frac{29}{25}[/tex]. Rozpiszmy [tex]a_5[/tex] jako [tex]q \cdot a_4 = q \cdot (q \cdot a_3) = q^2 \cdot a_3[/tex]. Wówczas otrzymujemy równanie:
[tex]\frac{q^2a_3 + a_3}{a_3} = \frac{29}{25} \iff q^2 + 1 = \frac{29}{25} \iff q^2 = \frac{4}{25}[/tex]
Ponieważ ciąg jest malejący, [tex]q = \frac{2}{5}[/tex]. Musimy jeszcze znaleźć [tex]a_1[/tex].
W tym celu zdefiniujemy ciąg [tex]b_n[/tex] - ciąg wyrazów ciągu [tex]a_n[/tex] o numerach parzystych. Zauważmy, że [tex]b_1 = a_2 = q \cdot a_1[/tex], a [tex]q_b = q^2[/tex].
Suma wszystkich wyrazów nieskończonego ciągu geometrycznego jest dana, nieco mniej intuicyjnym niż poprzednie, wzorem [tex]S = \frac{b_1}{1 - q_b}[/tex]. Zatem mamy nowe równanie:
[tex]6 = \frac{qa_1}{1 - q^2}[/tex]
Podstawmy znane [tex]q[/tex] do tego równania.
[tex]6 = \frac{10}{21} a_1 \iff a_1 = \frac{63}{5}[/tex].
Znaleźliśmy [tex]q[/tex] i [tex]a_1[/tex], zatem mamy też wzór na n-ty wyraz ciągu a: [tex]a_n = (\frac{2}{5})^{n-1}\cdot \frac{63}{5}[/tex]
