Wyznacz wszystkie wartości parametru k, dla których okręgi O1:
[tex]x^2 + y^2 = 1[/tex]
[tex]S_1(0,0)[/tex]
[tex]r_1=1[/tex]
[tex]x^2 + y^2 + 4kx - 2ky +5k^2-16 = 0[/tex]
[tex]x^2+ 4kx + y^2 - 2ky +5k^2-16 = 0[/tex]
[tex]x^2+ 2\cdot2k\cdot x +4k^2 + y^2 - 2ky+k^2-16 = 0[/tex]
[tex](x+2k)^2+(y-k)^2=16[/tex]
[tex]S_2=(-2k;k)[/tex]
[tex]r_2=4[/tex]
Aby okręgi miały dwa punkty wspólne odległość ich środków musi być spełniony warunek
[tex]|r_1-r_2|<|S_1S_2|<|r_1+r_2|[/tex]
[tex]|r_1-r_2|=|1-4|=|-3|=3[/tex]
[tex]|S_1S_2|=\sqrt{-2k-0)^2+(k-0)^2}=\sqrt{4k^2+k^2}=\sqrt{5k^2}=|k|\sqrt5[/tex]
[tex]|r_1+r_2|=|1+4|=|5|=5[/tex]
[tex]3<|k|\sqrt5<5[/tex]
1.
[tex]|k|\sqrt5>3\ \ \ |:\sqrt5[/tex]
[tex]|k|>\frac{3\sqrt5}{5}[/tex]
[tex]k>\frac{3\sqrt5}{5}\ \ \ lub\ \ \ \ k<-\frac{3\sqrt5}{5}[/tex]
[tex]k\in \left(-\infty;-\frac{3\sqrt5}{5} \right) \cup \left(\frac{3\sqrt5}{5};+\infty\right)[/tex]
2.
[tex]|k|\sqrt5<5\ \ \ |:\sqrt5[/tex]
[tex]|k|<\sqrt5[/tex]
[tex]-\sqrt5<k\sqrt5[/tex]
[tex]k\in(-\sqrt5;\sqrt5)[/tex]
Z 1 i 2
[tex]k\in \left(-\sqrt5;-\frac{3\sqrt5}{5} \right) \cup \left(\frac{3\sqrt5}{5};\sqrt5 \right) [/tex]
