Odpowiedź:
[tex]\huge\boxed{V=\dfrac{4\sqrt2}{3},\ P_c=(4+4\sqrt3)m^2}[/tex]
Szczegółowe wyjaśnienie:
Patrz rysunek w załączniku.
Powierzchnia ostrosłupa składa się z kwadratu i czterech trójkątów równobocznych.
Wzory na pola tych wielokątów o boku [tex]a[/tex]:
KWADRAT:
[tex]P_K=a^2[/tex]
TRÓJKĄT RÓWNOBOCZNY:
[tex]P_T=\dfrac{a^2\sqrt3}{4}[/tex]
Podstawiamy [tex]a=2m[/tex] i obliczamy pola:
[tex]P_K=2^2=4(m^2)\\\\P_T=\dfrac{2^2\sqrt3}{4}=\dfrac{4\sqrt3}{4}=\sqrt3(m^2)\\\\P_c=P_K+4P_T\\\\\boxed{P_c=(4+4\sqrt3)m^2}[/tex]
Objętość ostrosłupa obliczamy ze wzoru:
[tex]V=\dfrac{1}{3}\cdot P_p\cdot H[/tex]
[tex]P_p[/tex] - pole podstawy
[tex]H[/tex] - wysokość ostrosłupa
Brakuje nam wysokości bryły. Obliczymy ją korzystając z twierdzenia Pitagorasa.
[tex]H^2+\left(\dfrac{d}{2}\right)^2=a^2[/tex]
[tex]d[/tex] - przekątna kwadratu. którą obliczamy ze wzoru [tex]d=a\sqrt2[/tex].
[tex]d=2\sqrt2\ m[/tex]
Podstawiamy:
[tex]H^2+\left(\dfrac{2\sqrt2}{2}\right)^2=2^2\\\\H^2+(\sqrt2)^2=4\\\\H^2+2=4\qquad|-2\\\\H^2=2\to H=\sqrt2(m)[/tex]
Obliczamy objętość:
[tex]V=\dfrac{1}{3}\cdot4\cdot\sqrt2=\dfrac{4\sqrt2}{3}\ (m^3)[/tex]
