Liczby całkowite niedodatnie to liczby naturalne "z minusem" i 0, czyli 0, –1, –2, –3, .... Te liczby mają być dodatkowo większe od –5. Najmniejszą liczbą całkowitą niedodatnią większą od –5 jest –4. Oznacza to, że liczby, które bierzemy pod uwagę w tym zadaniu to: –4, –3, –2, –1, 0.
[tex]\dfrac{2}{x}+x^2+4x=-\dfrac{1}{2}[/tex]
Zaczniemy od określenia dziedziny tego wyrażenia. W w jednym z mianowników jest x, a wiemy, że nie dzieli się przez 0. Oznacza to, że x nie może być równe 0. Zatem dziedziną tego wyrażenia jest:
[tex]D=\mathbb{R}\backslash\{0\}[/tex]
[tex]\dfrac{2}{x}+x^2+4x=-\dfrac{1}{2}\quad\quad/\cdot x\\\\2+x^3+4x^2=-\dfrac{1}{2}x\\\\x^3+\dfrac{1}{2}x+4x^2+2=0\\\\\dfrac{1}{2}x(2x^2+1)+2(2x^2+1)=0\\\\\Bigg(\dfrac{1}{2}x+2\Bigg)(2x^2+1)=0\\\\\dfrac{1}{2}(x+4)(2x^2+1)=0\\\\x+4=0\quad\lor\quad2x^2+1=0\\x=-4\quad\lor\quad2x^2\not=-1[/tex]
Wyrażenie 2x² nigdy nie jest ujemne, ponieważ dowolny x podniesiony do kwadratu jest większy lub równy 0. Otrzymujemy jedno rozwiązanie x = –4.
–4 jest liczbą całkowitą niedodatnią oraz większą od –5 i jest jedynym rozwiązaniem spełniającym wszystkie warunki zadania.
