Odpowiedź:
Pierwsza całka bezpośrednio z wzoru:
[tex]\int x^ndx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C[/tex]
[tex]\int x^{\frac83}dx=\frac{x^{\frac83+1}}{\frac83+1}+C=\frac{3}{11}x^{\frac{11}{3}}+C[/tex]
Druga Całkowanie przez części:
[tex]\int f\left(x\right)g'\left(x\right)\:dx=f\left(x\right)g\left(x\right)-\int \:f'\left(x\right)g\left(x\right)\:dx[/tex]
w naszym przypadku wezmę:
[tex]f\left(x \right )=x\\g\left(x \right )=\sin x[/tex]
zatem:[tex]=-x\cos \left(x\right)-\int \:\left(-\cos \left(x\right)\right)dx=-x\cos \left(x\right)-\left(-\sin \left(x\right)\right)+C=\boxed{-x\cos \left(x\right)+\sin \left(x\right)+C}[/tex]
Trzecia przez podstawienie i z wzoru:
[tex]\int e^xdx=e^x+C[/tex]
gdzie
[tex]u=2x-9\\dx=\frac12du[/tex]
[tex]\int e^{2x-9}dx=\int \:e^u\frac{1}{2}du=\frac{1}{2}\int{e^u}du=\boxed{=\frac{1}{2}e^{2x-9}+C}[/tex]
Czwarta przez podstawienie, a następnie przez części:
[tex]u=9x-2\\dx=\frac19du[/tex]
zatem:
[tex]=\int \ln \left(u\right)\frac{1}{9}du=\frac{1}{9}\cdot \int \ln \left(u\right)du[/tex]
teraz całkowanie przez części f(x)=lnx, a g'(x)=1
[tex]=\frac{1}{9}\left(u\ln \left(u\right)-\int \:1du\right)=\frac{1}{9}\left(u\ln \left(u\right)-u\right)+C[/tex] i za 'u' podstawiamy nasze wyrażenie z początku i otrzymujemy wynik.
[tex]=\boxed{\frac{1}{9}\left(\left(9x-2\right)\ln \left(9x-2\right)-\left(9x-2\right)\right)+C}[/tex]
Piąta:
przez podstawienie:
[tex]u=6x-1\\dx=\frac16du[/tex]
[tex]=\int \frac{u^{\frac{9}{4}}}{6}du=\frac{1}{6}\cdot \int \:u^{\frac{9}{4}}du[/tex]
korzystam z wzory z pierwszej całki (pierwszy przykład)
[tex]=\frac{1}{6}\cdot \frac{4}{13}u^{\frac{13}{4}}+C=\boxed{\frac{2}{39}\left(6x-1\right)^{\frac{13}{4}}+C}[/tex]
