Odpowiedź:
Z założeniem chodzi o to, że musisz na początek wykluczyć "nielegalne" opcje, tzn. takie x, dla których wyszłoby np. dzielenie przez zero czy liczba ujemna pod pierwiastkiem kwadratowym. W obu zadaniach mamy do czynienia z tym pierwszym zagrożeniem.
Założenie polega zatem tutaj na wykluczeniu takich x, dla których w mianowniku ułamka pojawiłoby się 0.
Następnie przeprowadzamy obliczenia i na koniec musimy pamiętać, żeby sprawdzić wyniki z założeniami.
a) [tex]\frac{9x^2-6x-1}{(3x-1)^2}=0[/tex]
Założenie: mianownik musi być różny od 0, tzn. [tex](3x-1)^2\neq0[/tex].
Rozważmy równanie [tex](3x-1)^2=0[/tex]. Widzimy, że
[tex](3x-1)^2=0\iff 3x-1=0 \iff x=\frac{1}{3}[/tex]
Zatem nasze założenie jest takie, że [tex]x\neq\frac{1}{3}[/tex].
Wracamy do równania:
[tex]\frac{9x^2-6x-1}{(3x-1)^2}=0[/tex]
Zauważmy, że dla dowolnego ułamka [tex]\frac{a}{b}[/tex], ułamek ten będzie równy 0, gdy jego licznik będzie równy 0, tzn.
[tex]\frac{a}{b}=0\iff a=0[/tex]
(a mianownik może być wówczas dowolny, byle różny od 0).
Stąd
[tex]\frac{9x^2-6x-1}{(3x-1)^2}=0 \iff 9x^2-6x-1=0[/tex]
Mamy funkcję kwadratową, zatem szukamy jej miejsc zerowych. Liczymy deltę:
[tex]\Delta=(-6)^2-4\cdot9\cdot(-1)=36+36=72>0[/tex]
Zatem mamy dwa miejsca zerowe:
[tex]x_1=\frac{-(-6)-\sqrt{72}}{2\cdot9}=\frac{6-6\sqrt2}{18}=\frac{1-\sqrt2}{3}[/tex]
[tex]x_2=\frac{-(-6)+\sqrt{72}}{2\cdot9}=\frac{6+6\sqrt2}{18}=\frac{1+\sqrt2}{3}[/tex]
Widzimy, że nasza funkcja zeruje się w x₁ i x₂. Stąd
[tex]9x^2-6x-1=0\iff x=\frac{1-\sqrt2}{3}\lor x=\frac{1+\sqrt2}{3}[/tex]
Sprawdzamy jeszcze wyniki z założeniem, że [tex]x\neq\frac{1}{3}[/tex]. Widzimy, że [tex]x_1\neq\frac{1}{3}\land x_2\neq\frac{1}{3}[/tex], zatem oba wyniki są poprawne.
b) [tex]1+\frac{1}{x-2}=\frac{x}{x-2}[/tex]
Podobnie jak poprzednio, zaczynamy od założenia, które upewni nas, że nie dzielimy przez zero.
Założenie: [tex]x-2\neq0 \iff x\neq2[/tex].
Wracamy do równania:
[tex]1+\frac{1}{x-2}=\frac{x}{x-2}[/tex]
Przenieśmy wszystko na jedną stronę. Mamy
[tex]1+\frac{1}{x-2}-\frac{x}{x-2}=0[/tex]
Sprowadźmy wszystkie składniki do wspólnego mianownika:
[tex]\frac{x-2}{x-2}+\frac{1}{x-2}-\frac{x}{x-2}=0[/tex]
Uzyskujemy jeden ułamek:
[tex]\frac{x-2+1-x}{x-2}=0[/tex]
Jak pamiętamy z poprzedniego przykładu, ułamek jest równy 0, jeśli jego licznik jest równy 0. Zatem ograniczmy się do licznika:
[tex]\underline{x}-2+1\underline{-x}=0[/tex]
Widzimy, że x się redukują. Otrzymujemy równanie
[tex]-2+1=0\\-1\neq0[/tex]
Oczywiście to równanie jest sprzeczne, to znaczy, że nie ma rozwiązań.
