Odpowiedź:
Dla dowolnych dwóch prostych:
[tex]y=a_1x+b_1[/tex] oraz [tex]y=a_2x+b_2[/tex]
mamy następujące własności:
1) proste są równoległe, jeżeli ich współczynniki kierunkowe są równe, tzn.
[tex]a_1=a_2[/tex]
2) proste są prostopadłe, jeżeli ich współczynniki kierunkowe spełniają zależność:
[tex]a_1\cdot a_2=-1[/tex]
Wykorzystując powyższe informacje, rozwiążmy zadanie.
Dana jest prosta [tex]k:y=-5x+4[/tex] oraz proste
[tex]l:y=-\frac{1}{5}x+\frac{1}{4}\\m:y=-5x+1\\n:y=\frac{1}{5}x-5[/tex]
Spójrzmy na współczynniki kierunkowe. W przypadku prostej k, jej współczynnik kierunkowy to [tex]a_k=-5[/tex].
Szukamy prostej równoległej. Zgodnie z własnością (1) prosta ta ma współczynnik kierunkowy równy temu dla prostej k. Widzimy, że ten warunek spełnia prosta m, bowiem [tex]a_m=-5=a_k[/tex].
Szukamy prostej prostopadłej do prostej k. Z własności (2) mamy zależność
[tex]a_?\cdot a_k=-1 \iff a_? = \frac{-1}{a_k}=\frac{-1}{-5}=\frac{1}{5}=a_n[/tex]
([tex]a_?[/tex] to oznaczenie współczynnika kierunkowego nieznanej prostej, która ma być prostopadła do prostej k)
Z powyższych obliczeń wynika, że warunek z własności (2) spełnia prosta n, a zatem jest ona prostopadła do prostej k.
Podsumowując,
[tex]m\parallel k\\n\perp k[/tex]
