Odpowiedź:
[tex]\text{nieskonczenie wiele rozwiazan, gdy}\\\huge\boxed{p=0}[/tex]
[tex]\text{brak rozwiazan, gdy}\\\huge\boxed{p=-3}[/tex]
[tex]\text{jedno rozwiazanie, gdy}\\\huge\boxed{p\neq-3\ \wedge\ p\neq0}[/tex]
Jeżeli chodzi o zaznaczenie odpowiedzi, to tu jestem w kropce.
Możliwe, że jak zaznaczymy dwie pierwsze odpowiedzi, to będzie to poprawne. Chociaż wg mnie zapis powinien wyglądać tak
[tex]p\in\mathbb{R}\backslash\{-3,\ 0\}[/tex].
Szczegółowe wyjaśnienie:
[tex]\left\{\begin{array}{ccccccc}(1+p)x&+&y&+&z&=&1\\x&+&(1+p)y&+&z&=&p\\x&+&y&+&(1+p)z&=&p^2\end{array}\right[/tex]
Skorzystamy z metody wyznacznikowej.
Wówczas gdy
[tex]W=0\ \wedge\ W_x=0\ \wedge\ W_y=0\ \wedge\ W_z=0,\ \text{to uklad ma nieskonczenie wiele rozwiazan}\\\\W=0\ \wedge\ (W_x\neq0\ \vee\ W_y\neq0\ \wedge\ W_z\neq0),\ \text{to uklad nie ma rozwiazania}\\\\W\neq0,\ \text{to uklad ma jedno rozwiazanie}[/tex]
Obliczamy wyznaczniki:
[tex]W=\left|\begin{array}{ccc}1+p&1&1\\1&1+p&1\\1&1&1+p\end{array}\right|\\\\=(1+p)(1+p)(1+p)+1\cdot1\cdot1+1\cdot1\cdot1-1\cdot(1+p)\cdot1-(1+p)\cdot1\cdot1-1\cdot1\cdot(p+1)\\\\=(1+p)^3+1+1-1-p-1-p-1-p\\\\=1+3p+3p^2+p^3-3p-1=p^3+3p^2[/tex]
[tex]W_x=\left|\begin{array}{ccc}1&1&1\\p&1+p&1\\p^2&1&1+p\end{array}\right|\\\\\\=1\cdot(1+p)(1+p)+1\cdot1\cdot p^2+1\cdot1\cdot p-p^2(1+p)\cdot1-1\cdot1\cdot1-1\cdot p(1+p)\\\\=1+2p+p^2+p^2+p-p^2-p^3-1-p-p^2\\\\=-p^3+2p[/tex]
[tex]W_y=\left|\begin{array}{ccc}1+p&1&1\\1&p&1\\1&p^2&1+p\end{array}\right|\\\\=(1+p)p(1+p)+1\cdot1\cdot1+1\cdot1\cdot p^2-1\cdot p\cdot1-1\cdot p^2(1+p)-1\cdot1\cdot(1+p)\\\\=p+2p^2+p^3+1+p^2-p-p^2-p^3-1-p=2p^2-p[/tex]
[tex]W_z=\left|\begin{array}{ccc}1+p&1&1\\1&1+p&p\\1&1&p^2\end{array}\right|\\\\=(1+p)(1+p)p+1\cdot1\cdot p+1\cdot1\cdot1-1\cdot1\cdot(1+p)-1\cdot p(1+p)-1\cdot1\cdot p^2\\\\=p+2p^2+p^3+p+1-1-p-p-p^2-p^2\\\\=p^3[/tex]
[tex]W=0\iff p^3+3p^2=0\\\\p^2(p+3)=0\iff p^2=0\ \vee\ p+3=0\\\\\boxed{p=0}\ \vee\ \boxed{p=-3}\\\\W_x=0\iff -p^3+2p=0\\\\-p(p^2-2)=0\iff-p=0\ \vee\ p^2-2=0\\\\\boxed{p=0}\ \vee\ p^2=2\to\boxed{p=\sqrt2}\ \vee\ \boxed{p=-\sqrt2}[/tex]
[tex]W_y=0\iff2p^2-p=0\\\\2p\left(p-\dfrac{1}{2}\right)=0\iff2p=0\ \vee\ p-\dfrac{1}{2}=0\\\\\boxed{p=0}\ \vee\ \boxed{p=\dfrac{1}{2}}\\\\W_z=0\iff p^3=0\\\\\boxed{p=0}[/tex]
