Ostrosłup prawidłowy czworokątny
r=2cm
H=6cm
a - długość krawędzi podstawy
h - długość wysokości ściany bocznej
α - kąt nachylenia ściany bocznej do płaszczyzny jego podstawy
1. Obliczamy długość krawędzi podstawy
Promień okręgu wpisanego w kwadrat jest równy połowie długości jego boku.
[tex]r=\frac{1}{2}a[/tex]
[tex]\frac{1}{2}a=2\ \ \ |\cdot2[/tex]
[tex]a=4cm[/tex]
2. Obliczamy pole podstawy
[tex]P_p=a^2[/tex]
[tex]P_p=4^2[/tex]
[tex]P_p=16cm^2[/tex]
3. Obliczamy wysokość ściany bocznej
(z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta OES)
[tex]H^2+\left(\frac{1}{2}a\right)^2=h^2[/tex]
[tex]h^2=6^2+2^2[/tex]
[tex]h^2=36+4[/tex]
[tex]h^2=40[/tex]
[tex]h=\sqrt{40}[/tex]
[tex]h=2\sqrt{10}cm[/tex]
4. Obliczamy pole powierzchni bocznej
[tex]P_b=4\cdot\frac{ah}{2} [/tex]
[tex]P_b=2ah[/tex]
[tex]P_b=2\cdot4\cdot2\sqrt{10}[/tex]
[tex]P_b=16\sqrt{10}cm^2[/tex]
5. Obliczamy pole powierzchni całkowitej
[tex]P_c=P_p+P_b[/tex]
[tex]P_c=(16+16\sqrt{10})cm^2[/tex]
6. Obliczamy miarę kąta α
[tex]tg\alpha=\frac{|OS|}{|OE|}[/tex]
[tex]tg\alpha=\frac{6}{\frac{1}{2}a}[/tex]
[tex]tg\alpha=\frac{6}{2}[/tex]
[tex]tg\alpha=3[/tex]
[tex]\alpha\approx 72^{\circ}[/tex]
Odp.: Pole powierzchni całkowitej jest równe [tex](16+16\sqrt{10})cm^2[/tex], a kąt nachylenia ściany bocznej do płaszczyzny jego podstawy ma miarę około 72°.
