Odpowiedź i szczegółowe wyjaśnienie:
Tutaj musisz korzystać ze wzorów Viette'a. Mają one postać:
[tex]x_1+x_2=\frac{-b}{a}\\\\x_1\cdot x_2=\frac{c}{a}[/tex]
Mając naszą funkcję w postaci:
[tex]x^2+(3m-2)x+m+2=0\\[/tex]
mamy zbadać, że suma odwrotności pierwiastków jest liczbą dodatnią.
A więc:
1. Nasze równanie MUSI mieć 2 pierwiastki, czyli delta>0
2. Musi spełnić warunek:
[tex]\dfrac{1}{x_1}+\dfrac{1}{x_2}>0[/tex]
No to lecimy:
[tex]a=1;\ b=3m-2;\ c=m+2\\\\\Delta=b^2-4ac\\\Delta=(3m-2)^2+4\cdot1\cdot(m+2)=\\=9m^2-12m+4+4m+8=9m^2-8m+12[/tex]
Delta ma być większa od 0, zatem:
[tex]9m^2-8m+12>0\\\\\Delta_1=(-8)^2-4\cdot9\cdot12=64-432=-368[/tex]
Jak widzimy delta_1 jest mniejsza od 0, ramiona tej paraboli są kierowane w górę (a=9) zatem nierówność tak zawsze będzie prawdziwa dla jakiegokolwiek (m).
Wiedząc to, możemy przejść do warunku nr 2, czyli:
[tex]\dfrac{1}{x_1}+\dfrac{1}{x_2}>0\\\\\\\dfrac{x_1}{x_1\cdot x_2}+\dfrac{x_2}{x_1\cdot x_2}>0\\\\\\\dfrac{x_1+x_2}{x_1\cdot x_2}>0[/tex]
Nasz warunek przekształciliśmy do prostszej postaci, w której po prostu sprowadziliśmy do wspólnego mianownika nasze odwrotności i widzimy, że coś nam przypominają. W liczniku i mianowniku są znane nam wzory Viette'a (wymienione na górze mojego rozwiązania, zatem podstawmy je):
[tex]\dfrac{\frac{-b}{a}}{\frac{c}{a}}>0\\\\\dfrac{-b}{a}\cdot\dfrac{a}{c}>0\\\\\dfrac{-b}{c}>0[/tex]
Teraz wystarczy podstawić z głównego równania )b) i (c) i obliczyć naszą nierówność. Zatem:
[tex]\dfrac{-(3m-2)}{m+2}>0\\\\\dfrac{-3m+2}{m+2}>0\\\\(-3m+2)(m+2)>0\\\\-3m+2=0\ =>\ -3m=-2\ =>\ m=\frac23\\\\m+2=0\ =>\ m=-2[/tex]
Obliczyliśmy teraz miejsca zerowe naszej nierówności.
Rozwiązaniem jej jest przedział pomiędzy tymi miejscami, czyli:
[tex]m\in(-2;\frac23)[/tex]
Teraz biorąc rozwiązanie z pierwszego warunku (m należy do liczb rzeczywistych) oraz rozwiązanie warunku 2 wybieramy część wspólną i to będzie nasze rozwiązanie zadania, zatem:
[tex]I.\ m\in R\\II.\ m\in (-2;\frac23)\\\\\\\boxed{m\in (-2;\frac23)}[/tex]
Dla parametru z przedziału powyżej suma odwrotności pierwiastków naszego równania będzie liczbą dodatnią.
Analogicznie przeprowadza się rozwiązanie dla przykładu z zadania drugiego, z tą różnicą, że będzie inny warunek, czyli:
1. Delta >0
2. 1/x_1 + 1/x_2 <0
A więc:
[tex]x^2+(2-3m)x+2m^2-3=0\\\\a=1;\ b=(2-3m);\ c=2m^2-3\\\\I.\ \Delta \geq0\\\Delta=b^2-4ac\\\Delta=(2-3m)^2-4\cdot1\cdot(2m^2-3)=4-12m+9m^2-8m^2+12\\\Delta=m^2-12m+16\\\\m^2-12m+16\geq0\\a_1=1;\ b_1=-12;\ c_1=16\\\Delta_1=(-12)^2-4\cdot1\cdot16=144-64=80\\\sqrt\Delta_1=\sqrt{80}=\sqrt{16\cdot5}=4\sqrt5[/tex]
[tex]x_1=\dfrac{-b-\sqrt\Delta}{2a}=\dfrac{-(-12)-4\sqrt5}{2\cdot1}=\dfrac{12-4\sqrt5}{2}=\dfrac{2(6-2\sqrt5)}{2}=6-2\sqrt5\\x_2=\dfrac{-b+\sqrt\Delta}{2a}=\dfrac{-(-12)+4\sqrt5}{2\cdot1}=\dfrac{12+4\sqrt5}{2}=\dfrac{2(6+2\sqrt5)}{2}=6+2\sqrt5[/tex]
Rozwiązaniem I warunku jest przedział:
[tex]m\in (-\infty;6-2\sqrt5>\cup<6+2\sqrt5;+\infty)[/tex]
II warunek (analogiczny jak w poprzednim zadaniu, tylko mniejszy od 0:
[tex]\dfrac{1}{x_1}+\dfrac{1}{x_2}<0\\\\\dfrac{x_1}{x_1\cdot x_2}+\dfrac{x_2}{x_1\cdot x_2}<0\\\\\dfrac{x_1+x_2}{x_1\cdot x_2}<0\\\\\dfrac{-b}{c}<0[/tex]
[tex]b=2-3m;\ c=2m^2-3\\\\\dfrac{-(2-3m)}{2m^2-3}<0\\\\\dfrac{-2+3m}{2m^2-3}<0\\\\(3m-2)(2m^2-3)<0\\\\(3m-2)(m^2-\frac32)<0\\\\(3m-2)(m-\sqrt{\frac32})(m+\sqrt{\frac32})<0[/tex]
Rozwiązaniem tego równania jest zbiór:
[tex]m\in(-\infty;-\sqrt{\frac32})\cup(\frac32;\sqrt{\frac32})}[/tex]
A rozwiązaniem całego zadania jest wspólna część zbiorów z warunku I i II czyli:
[tex]\boxed{m\in(-\infty;-\sqrt{\frac32})\cup(\frac32;\sqrt{\frac32})}}[/tex]
