Odpowiedź:
[tex]\huge\boxed{x=3-2\sqrt3\ \vee\ x=0\ \vee\ x=3+2\sqrt3}[/tex]
Szczegółowe wyjaśnienie:
Jeżeli wielomian u(x) jest podzielny przez dwumian p(x) = x - q, to u(q) = 0 (q jest pierwiastkiem wielomianu u(x)).
Mamy wielomian:
[tex]w(x)=x^3-6x^2-3x[/tex]
Oraz dwumian:
[tex]q(x)=x-a[/tex],
który dzieli wielomian [tex]w(x)[/tex].
Na mocy twierdzenia, które podałem na początku mamy:
[tex]w(a)=0[/tex]
Podstawiamy:
[tex]a^3-6a^2-3a=0\\\\a(a^2-6a-3)=0\iff a=0\ \vee\ a^2-6a-3=0\\\\\Delta=(-6)^2-4\cdot1\cdot(-3)=36+12=48\\\\\sqrt\Delta=\sqrt{48}=\sqrt{16\cdot3}=4\sqrt3\\\\a_1=\dfrac{-(-6)-4\sqrt3}{2\cdot1}=\dfrac{6-4\sqrt3}{2}=3-2\sqrt3\\\\a_2=\dfrac{-(-6)+4\sqrt3}{2\cdot1}=\dfrac{6+4\sqrt3}{2}=3+2\sqrt3[/tex]
