Szczegółowe wyjaśnienie:
Do tego zadania przyda się metoda wyznacznikowa.
[tex]\left\{\begin{array}{ccc}(s-2)x+12y=2\\3x+(s-2)y=1\end{array}\right \\\\W=\left|\begin{array}{ccc}s-2&12\\3&s-2\end{array}\right|=(s-2)(s-2)-3\cdot12=s^2-4s+4-36=s^2-4s-32\\\\W_x=\left|\begin{array}{ccc}2&12\\1&s-2\end{array}\right|=2(s-2)-1\cdot12=2s-4-12=2s-16\\\\W_y=\left|\begin{array}{ccc}s-2&2\\3&1\end{array}\right|=(s-2)\cdot1-3\cdot2=s-2-6=s-8[/tex]
Brak rozwiązań (układ sprzeczny), gdy
[tex]W=0\ \wedge\ (W_x\neq0\ \vee\ W_y\neq0)[/tex]
Nieskończenie wiele rozwiązań (układ nieoznaczony), gdy
[tex]W=0\ \wedge\ W_x\n=0\ \wedge\ W_y=0[/tex]
Jedno rozwiązanie (układ oznaczony), gdy
[tex]W\neq0[/tex]
[tex]W=0\iff s^2-4s-32=0\\\\s^2+4s-8s-32=0\\\\s(s+4)-8(s+4)=0\\\\(s+4)(s-8)=0\iff s+4=0\ \vee\ s-8=0\\\\\boxed{s=-4}\ \vee\ \boxed{s=8}[/tex]
[tex]W_x=0\iff2s-16=0\\\\2s=16\qquad|:2\\\\\boxed{s=8}\\\\W_y=0\iff s-8=0\\\\\boxed{s=8}[/tex]
Układ oznaczony, gdy
[tex]\huge\boxed{s\neq-4\ \wedge\ s\neq8}[/tex]
Rozwiązanie:
[tex]x=\dfrac{W_x}{W}\to x=\dfrac{2s-16}{s^2-4s-32}=\dfrac{2(s-8)}{(s+4)(s-8)}=\dfrac{2}{s+4}\\\\y=\dfrac{W_y}{W}\to y=\dfrac{s-8}{s^2-4s-32}=\dfrac{s-8}{(s+4)(s-8)}=\dfrac{1}{s+4}[/tex]
[tex]\huge\boxed{\left(\dfrac{2}{s+4};\ \dfrac{1}{s+4}\right)}[/tex]
Układ nieoznaczony, gdy
[tex]\huge\boxed{s=8}[/tex]
Rozwiązanie:
Podstawiamy s = 8 do jednego z równań:
[tex](8-2)x+12y=2\\8x-2x+12y=2\\6x+12y=2\qquad|-6x\\12y=-6x+2\qquad|:12\\\\y=\dfrac{-6x+2}{12}\\\\y=-\dfrac{3x-1}{6}[/tex]
[tex]\huge\boxed{\left(x\in\mathbb{R};\ -\dfrac{3x-1}{6}\right)}[/tex]
Układ sprzeczny, gdy
[tex]\huge\boxed{s=-4}[/tex]
