Szczegółowe wyjaśnienie:
1.
Mając dane trzy boki trójkąta możemy posłużyć się wzorem Herona, na pole trójkąta:
[tex]P=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}\\\\p=\dfrac{a+b+c}{2}[/tex]
[tex]a,\ b\ c[/tex] - boki trójkąta
Dane:
[tex]a=3;\ b=\sqrt5;\ c=\sqrt3\\\\p=\dfrac{3+\sqrt5+\sqrt3}{2}\\\\P=\sqrt{\dfrac{3+\sqrt5+\sqrt3}{2}\cdot\left(\dfrac{3+\sqrt5+\sqrt3}{2}-3\right)\cdot\left(\dfrac{3+\sqrt5+\sqrt3}{2}-\sqrt5\right)\cdot}\\\overline{\left(\dfrac{3+\sqrt5+\sqrt3}{2}-\sqrt3\right)}}[/tex]
[tex]P=\sqrt{\dfrac{3+\sqrt5+\sqrt3}{2}\cdot\dfrac{3+\sqrt5+\sqrt3-6}{2}\cdot\dfrac{3+\sqrt5+\sqrt3-2\sqrt5}{2}\cdot\dfrac{3+\sqrt5+\sqrt3-2\sqrt3}{2}}[/tex]
[tex]P=\sqrt{\dfrac{3+\sqrt5+\sqrt3}{2}\cdot\dfrac{\sqrt5+\sqrt3-3}{2}\cdot\dfrac{3-\sqrt5+\sqrt3}{2}\cdot\dfrac{3+\sqrt5-\sqrt3}{2}}[/tex]
[tex]P=\sqrt{\dfrac{3\sqrt5+3\sqrt3-9+5+\sqrt{15}-3\sqrt5+\sqrt{15}+3-3\sqrt3}{4}\cdot}\\\\\overline{\dfrac{9+3\sqrt5-3\sqrt3-3\sqrt5-5+\sqrt{15}+3\sqrt3+\sqrt{15}-3}{4}}[/tex]
[tex]P=\sqrt{\dfrac{2\sqrt{15}-1}{4}\cdot\dfrac{2\sqrt{15}+1}{4}}=\sqrt{\dfrac{(2\sqrt{15})^2-1^2}{16}}=\sqrt{\dfrac{4\cdot15-1}{16}}\\\\=\sqrt{\dfrac{59}{16}}=\dfrac{\sqrt{59}}{4}[/tex]
2. Aby środek okręgu opisanego na trójkącie znajdował się wewnątrz trójkąta, to trójkąt ten musi być ostrokątny.
Skorzystamy z uogólnienia twierdzenia Pitagorasa, które na mówi, że
Jeżeli a ≥ b ≥ c oraz
a² < b² + c², to trójkąt jest ostrokątny
a² = b² + c², to trójkąt jest prostokątny
a² > b² + c², to trójkąt jest rozwartokątny
Mamy
[tex]a=8;\ b=4\sqrt3;\ c=4\\\\8>4\sqrt3>4[/tex]
Sprawdzamy:
[tex]8^2=64\\\\(4\sqrt3)^2+4^2=16\cdot3+16=48+16=64\\\\8^2=(4\sqrt3)^2+4^2[/tex]
Czyli trójkąt jest prostokątny.
Zatem środek okręgu opisanego na tym trójkącie leży w połowie przeciwprostokątnej, a nie wewnątrz trójkata.
