Odpowiedź:
Osiąga wartość największą, ta wartość największa wynosi [tex]\frac{169}{16}[/tex] i jest osiągana dla argumentu [tex]x=\frac{3}{8}[/tex]. Natomiast funkcja nie przyjmuje wartości najmniejszej, zbiór wartości jest nieograniczony z dołu.
Szczegółowe wyjaśnienie:
Sposób 1. Przez sprowadzenie wzoru na funkcję kwadratową do postaci kanonicznej: [tex]-4x^2+3x+10=-4\left(x^2-\frac{3}{4}x-\frac{5}{2}\right)=-4\left[\left(x-\frac{3}{5}\right)^2-\frac{9}{64}-\frac{3}{5}=-4\left[\left(x-\frac{3}{5}\right)^2-\frac{9+160}{64}\right],[/tex]
czyli
[tex]-4x^2+3x+10=-4\left(x-\frac38\right)^2+\frac{169}{16}.[/tex]
Z powyższej postaci jest widoczne, że największa wartość jest przyjmowana przez funkcję w punkcie (dla argumentu) [tex]x=\frac38[/tex] , i tą największą wartością jest [tex]\frac{169}{16}[/tex]. Funkcja kwadratowa o ujemnym współczynniku przy kwadracie nie przyjmuje wartości najmniejszej.
Sposób 2. Przez zastosowanie gotowych wzorów na współrzędne wierzchołka wykresu funkcji kwadratowej. Jeżeli oznaczyć przez [tex]\Delta[/tex] wyróżnik rozważanej funkcji kwadratowej [tex]f(x)=ax^2+bx+c[/tex] (tutaj [tex]a=-4, b=3, c=10[/tex]
to [tex]\Delta=b^2-4ac=9+160=169[/tex]. Jak wiadomo, współrzędne wierzchołka wykresu funkcji kwadratowej to [tex]\left(-\frac{b}{2a},-\frac{\Delta}{4a}\right)[/tex], czyli w naszym przypadku [tex]\left(\frac38,\frac{169}{16}\right)[/tex]. Stąd ta sama konkluzja co w sposobie 1.
Sposób 3. Z użyciem rachunku różniczkowego. Pochodna zadanej funkcji wynosi [tex]f'(x)=-8x+3[/tex]. Ta pochodna zeruje się w jedynym punkcie [tex]x=\frac38[/tex], przy czym przy przechodzeniu przez ten punkt zmienia wartości z dodatnich (na lewo od tego punktu) na ujemne (na prawo od tego punktu), czyli w rozważanym punkcie dana funkcja kwadratowa przyjmuje ekstremum - i jest to maksimum. Podstawiając [tex]x=\frac38[/tex] do wzoru na funkcję, otrzymujemy przyjmowaną tam wartość [tex]f\left(\frac38\right)=-4\cdot\frac{9}{64}+3\cdot\frac38+10=-\frac{9}{16}+\frac98+10=\frac{9}{16}+10=\frac{9+160}{16}=\frac{169}{16}[/tex]
- i jest to właśnie wartość największa. Ponieważ nie istnieją inne punkty w których pochodna (która istnieje wszędzie tzn. na całej prostej rzeczywistej) się zeruje, znaleziony punkt jest jedynym punktem w którym występuje ekstremum (maksimum), w szczególności funkcja nigdzie nie przyjmuje wartości najmniejszej.
W innej odpowiedzi do tego zadania/przykładu, użyto funkcji z innym współczynnikiem przy kwadracie, mianowicie -42 zamiast -4, a więc odpowiedź tam podana nie ma zastosowania w naszym przypadku.