Szczegółowe wyjaśnienie:
Niech [tex]z=a+bi[/tex], wówczas [tex]\overline{z}=a-bi[/tex] (sprzężenie liczby [tex]z[/tex]).
[tex]Rez[/tex] oznacza część rzeczywistą liczby [tex]z[/tex], czyli [tex]a[/tex].
[tex]Imz[/tex] oznacza część urojoną liczby [tex]z[/tex], czyli [tex]b[/tex].
Podstawiamy i rozwiązujemy równania, wiedząc, że dwie liczby zespolone są równe, gdy mają równe części rzeczywiste oraz równe części urojone.
[tex]a)\ z+Re\overline{z}-Imz=6+4i\\\\a+bi+Re(a-bi)-Im(a+bi)=6+4i\\\\a+bi+a-b=6+4i\\\\2a-b+bi=6+4i\iff2a-b=6\ \wedge\ b=4[/tex]
podstawiamy wartość [tex]b[/tex] do pierwszego równania i obliczamy [tex]a[/tex]:
[tex]2a-4=6\qquad|+4\\2a=10\qquad|:2\\a=5[/tex]
Ostatecznie mamy: [tex]\boxed{z=5+4i}[/tex]
Podobnie rozwiązujemy pozostałe równania:
[tex]b)\ z\overline{z}+(z-\overline{z})=3+2i\\\\(a+bi)(a-bi)+\bigg[a+bi-(a-bi)\bigg]=3+2i\\\\a^2-(bi)^2+a+bi-a+bi=3+2i\\\\a^2-b^2\cdot(-1)+2bi=3+2i\\\\a^2+b^2+2bi=3+2i\iff a^2+b^2=3\ \wedge\ 2b=2\to b=1\\\\a^2+1^2=3\\a^2+1=3\qquad|-1\\a^2=2\to a=\pm\sqrt2\\\\\boxed{z=\pm\sqrt2+i}[/tex]
[tex]c)\ i(z+\overline{z})+i(z-\overline{z})=2i-3\\\\i(z+\overline{z}+z-\overline{z})=-3+2i\\\\i\cdot2z=-3+2i\\\\2zi=-3+2i\\\\2(a+bi)i=-3+2i\\\\2ai+2bi^2=-3+2i\\\\-2b+2ai=-3+2i\iff-2b=-3\ \wedge\ 2a=2\\\\b=\dfrac{3}{2}\ \wedge\ a=1\\\\\boxed{z=1+\dfrac{3}{2}i}[/tex]
[tex]d)\ 2Re(\overline{z}-5i+2)-Im(z+3i)-z=1-i\\\\2Re(a-bi-5i+2)-Im(a+bi+3i)-(a+bi)=1-i\\\\2Re\bigg[a+2-(b+5)i\bigg]-Im\bigg[a+(b+3)i\bigg]-a-bi=1-i\\\\2(a+2)-(b+3)-a-bi=1-i\\\\2a+4-b-3-a-bi=1-i\\\\a-b+1-bi=1-i\iff a-b+1=1\ \wedge\ -b=-1\to b=1\\\\a-1+1=1\\a=1\\\\\boxed{z=1+i}[/tex]
