Odpowiedź:
To, co musimy zrobić w każdym punkcie, to zestawić równanie okręgu z równaniem prostej [tex]y=-2[/tex]. Powstanie układ równań, z którego wyznaczymy współrzędne punktów przecięcia (jeżeli takie istnieją).
a) [tex]\left \{ {{(x+5)^2+(y-4)^2=36} \atop {y=-2} \right.[/tex]
Podstawiamy [tex]y=-2[/tex] do pierwszego równania. Mamy
[tex](x+5)^2+(-2-4)^2=36\\(x+5)^2+(-6)^2=36\\x^2+10x+25+36=36\\x^2+10x+25=0[/tex]
Uzyskaliśmy równanie kwadratowe, obliczamy deltę i wyznaczamy miejsca zerowe:
[tex]\Delta=10^2-4\cdot1\cdot25=100-100=0[/tex]
[tex]\Delta=0[/tex], zatem mamy jedno miejsce zerowe [tex]x_0=\frac{-10}{2\cdot1}=-5[/tex]
Zatem istnieje jeden punkt przecięcia tego okręgu z tą prostą i ma on współrzędne [tex](-5,-2)[/tex].
b) [tex]\left \{ {{(x-8)^2+(y+1)^2=4} \atop {y=-2}} \right.[/tex]
Podstawiamy [tex]y=-2[/tex] do pierwszego równania. Mamy
[tex](x-8)^2+(-2+1)^2=4\\(x-8)^2+(-1)^2=4\\x^2-16x+64+1=4\\x^2=16x+61=0[/tex]
Analogicznie jak wyżej, obliczamy deltę i wyznaczamy miejsca zerowe:
[tex]\Delta=(-16)^2-4\cdot1\cdot61=256-244=12>0[/tex]
[tex]x_1=\frac{-(-16)-\sqrt{12}}{2\cdot1}=\frac{16-2\sqrt3}{2}=8-\sqrt3[/tex]
[tex]x_2=\frac{-(-16)+\sqrt{12}}{2\cdot1}=\frac{16+2\sqrt3}{2}=8+\sqrt3[/tex]
Zatem mamy dwa punkty przecięcia: [tex]\left((8-\sqrt3),-2\right),\left((8+\sqrt3),-2\right)[/tex]
c) [tex]\left \{ {{(x+2)^2+(y-6)^2=4} \atop {y=-2}} \right.[/tex]
[tex](x+2)^2+(-2-6)^2=4\\(x+2)^2+(-8)^2=4\\x^2+4x+4+64=4\\x^2+4x+64=0[/tex]
[tex]\Delta=4^2-4\cdot1\cdot64=16-256<0[/tex]
[tex]\Delta<0[/tex], zatem nie ma miejsc zerowych, zatem nasz okrąg nie ma punktów przecięcia z prostą [tex]y=-2[/tex]
d) [tex]\left \{ {{(x-3)^2+(y+4)^2=8} \atop {y=-2}} \right.[/tex]
[tex](x-3)^2+(-2+4)^2=8\\(x-3)^2+2^2=8\\x^2-6x+9+4=8\\x^2-6x+5=0[/tex]
[tex]\Delta=(-6)^2-4\cdot1\cdot5=36-20=16=4^2>0[/tex]
[tex]x_1=\frac{-(-6)-4}{2\cdot1}=\frac{6-4}{2}=1[/tex]
[tex]x_2=\frac{-(-6)+4}{2\cdot1}=\frac{6+4}{2}=5[/tex]
Zatem mamy dwa punkty wspólne: [tex](1,-2),\,(5,-2)[/tex]
