Rozwiązanie:
a)
[tex]$ \lim_{x \to \infty} \Big(\sqrt{5x^{4}+x^{2}-1}-\sqrt{5x^{4}+7x+3} \Big)= \lim_{x \to \infty} \frac{5x^{4}+x^{2}-1-5x^{4}-7x-3}{\sqrt{5x^{4}+x^{2}-1}+\sqrt{5x^{4}+7x+3} } =[/tex]
[tex]$= \lim_{x \to \infty} \frac{x^{2}-7x-4}{\sqrt{5x^{4}+x^{2}-1}+\sqrt{5x^{4}+7x+3} } = \lim_{x \to \infty} \frac{x^{2}\Big(1-\frac{7}{x}-\frac{4}{x^{2}} \Big)}{x^{2}\Big(\sqrt{5+\frac{1}{x^{2}}-\frac{1}{x^{4}}}+\sqrt{5+\frac{7}{x^{3}}+\frac{3}{x^{4} } }\Big) } } =[/tex][tex]$=\frac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{5} } =\frac{1}{2\sqrt{5} } =\frac{\sqrt{5} }{10}[/tex]
b)
[tex]$ \lim_{x \to 2} \frac{\sqrt{2x^{2}+1} -\sqrt{x+7} }{x^{3}-x-6} = \lim_{x \to 2} \frac{2x^{2}+1-x-7}{(x^{3}-x-6)(\sqrt{2x^{2}+1+\sqrt{x+7} } )} =[/tex]
[tex]$= \lim_{x \to 2} \frac{2x^{2}-x-6}{(x^{3}-x-6)(\sqrt{2x^{2}+1+\sqrt{x+7} } )}=[/tex][tex]$= \lim_{x \to 2} \frac{(2x+3)(x-2)}{(x-2)(x^{2}+2x+3)(\sqrt{2x^{2}+1} +\sqrt{x-7} )} =[/tex]
[tex]$= \lim_{x \to 2} \frac{2x+3}{(x^{2}+2x+3)(\sqrt{2x^{2}+1} +\sqrt{x-7} )} =\frac{7}{11 \cdot 6} =\frac{7}{66}[/tex]
c)
[tex]$ \lim_{x \to 0^{+}} 2^{5-\frac{1}{x^{3}} }[/tex]
Funkcja wykładnicza jest ciągła, więc obliczamy granicę wykładnika:
[tex]$\lim_{x \to 0^{+}} 5-\frac{1}{x^{3}} =\lim_{x \to 0^{+}} 5-\lim_{x \to 0^{+}}\frac{1}{x^{3}} =\Big[\frac{1}{0^{+}} \Big]=5-\infty=-\infty[/tex]
Zatem:
[tex]$ \lim_{x \to 0^{+}} 2^{5-\frac{1}{x^{3}} }=2^{-\infty}=0[/tex]
d)
[tex]$ \lim_{x \to 0^{-}} 2^{5-\frac{1}{x^{3}} }[/tex]
Funkcja wykładnicza jest ciągła, więc obliczamy granicę wykładnika:
[tex]$\lim_{x \to 0^{-}} 5-\frac{1}{x^{3}} =\lim_{x \to 0^{-}} 5-\lim_{x \to 0^{-}}\frac{1}{x^{3}} =\Big[\frac{1}{0^{-}} \Big]=5+\infty=\infty[/tex]
Zatem:
[tex]$ \lim_{x \to 0^{-}} 2^{5-\frac{1}{x^{3}} }=2^{\infty}=\infty[/tex]
e)
[tex]$ \lim_{x \to 1} \Big(\frac{4x+3}{3x+4} \Big)^{\frac{1}{1-x} }= \lim_{x \to 1} e^{\frac{1}{1-x} \cdot \ln \Big(\frac{4x+3}{3x+4} \Big)}[/tex]
Funkcja ekspotencjalna jest ciągła, więc obliczamy granicę wykładnika:
[tex]$ \lim_{x \to 1} \frac{\ln \Big(\frac{4x+3}{3x+4} \Big)}{1-x} =\Big[\frac{0}{0} \Big][/tex]
Korzystamy z reguły de l'Hospitala:
[tex]$ \lim_{x \to 1} \frac{\frac{3x+4}{4x+3} \cdot \frac{4(3x+4)-3(4x+3)}{(3x+4)^{2}} }{-1} = \lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{4x+3} \cdot \frac{12x+16-12x-9}{3x+4} }{-1} =-\lim_{x \to 1} \frac{7}{7 \cdot 7} =-\frac{1}{7}[/tex]
Zatem:
[tex]$ \lim_{x \to 1} \Big(\frac{4x+3}{3x+4} \Big)^{\frac{1}{1-x} }= \lim_{x \to 1} e^{\frac{1}{1-x} \cdot \ln \Big(\frac{4x+3}{3x+4} \Big)}=e^{-\frac{1}{7} }[/tex]
