Odpowiedź:
Żeby całość była [tex]\geq[/tex] 0 to albo mianownik i licznik muszą być oba dodadnie, albo oba ujemne.
Zaczynamy od ustalenia dziedziny. Mianownik nie może równać się 0. Więc
[tex]x(x-2)(x+2)\neq 0\\x\neq 0 \\x\neq -2 \\x\neq 2[/tex]
Kolejnym krokiem jest ustalenie kiedy licznik jest dodatni, a kiedy ujemny.
[tex](x+3)^{2} -1\geq 0\\x^{2} +6x+8\geq 0[/tex]
Korzystając ze wzoru na miejsca zerowe w funkcji kwadratowej wyznaczamy miejsca zerowe:
[tex]ax^{2} +bx+c=0[/tex]
[tex]x_{1} =\frac{-b-\sqrt{b^{2}-4ac } }{2a} =\frac{-6-\sqrt{36-32} }{2}=\frac{-6-2}{2}=-4 \\x_{2} =\frac{-b+\sqrt{b^{2}-4ac } }{2a} =\frac{-6+\sqrt{36-32} }{2}=\frac{-6+2}{2}=-2[/tex]
-Miejsca zerowe to -4 oraz -2. Ponieważ mamy znak dodatni przy [tex]x^{2}[/tex], dlatego w przedziale (-4,-2) funkcja przyjmuje wartości ujemne. Zaś w reszcie wartości nieujemne. W punktach -4 oraz -2 przyjmuje ona zero, w tym przypadku znak nie ma znaczenia.
Dodatnia dla (-2,∞)
Ujemna dla (-4,-2)
Dodatnia dla (-∞,-4)
Następnie sprawdzamy znak mianownika. Po wymnożeniu nawiasów otrzymujemy.
[tex]x^{3}-4x[/tex]
Znamy już miejsca zerowe tej funkcji, a ponieważ przy [tex]x^{3}[/tex] jest znak dodatni, to wiemy że w nieskończoności osiągnie ona wynik dodatni. Dlatego jesteśmy w stanie określić w których przedziałach funckja jest dodatnia oraz ujemna.
Dodatnia dla (2,∞)
Ujemna dla (0,2)
Dodatnia dla (-2,0)
Ujemna dla (-∞,-2).
Teraz wybieramy przedziały w których mianownik i licznik mają ten sam znak, oraz uwzględniamy dziedzine.
Dla przediału (2,∞) oba dodatnie, działa
Punkt 2 nie jest w dziedzinie funkcji, nie działa
Dla przedziału (0,2) Jedno dodatnie, drugie ujemne, nie działa
Punkt 0 nie jest w dziedzinie funkcji, nie działa
Dla (-2,0) Oba dodatnie, działa
Punkt -2 nie jest w dziedzinie funkcji, nie działa
Dla (-4,-2) Oba ujemne, działa
Dla -4 licznik się zeruje, działa
Dla (- ∞,-4) jedno dodatnie drugie ujemne, nie działa
Następnie wybieramy wszystkie przedziały w których działą i otrzymujemy finalny wynik który jest sumą przedziałów
<-4,-2) oraz (-2,0) oraz (2,∞)
