Użyte oznaczenia: r - promień okręgu, 2r - średnica okręgu
a)
Kąt α jest kątem dopisanym opartym na łuku BPC (rysunek) zatem ma taką miarę jak kąt wpisany BAC oparty na tym samym łuku.
|AO| = |BO| = r = |AB| ⇒ |∡BAC| = |BAO| = 60° ⇒ α = 60°
b)
Kąt wpisany ACB jest oparty na tym samym łuku (APB) co kąt środkowy AOB. Zatem:
|∡AOB| = 2|∡ACB| ⇒ |∡ACB| = 120°:2 = 60°
Z trójkąta ADO:
|∡ADO| = 180° - 120° - 15° = 45°
|∡ADO| = |∡BDC| {kąty wierzchołkowe}
Z trójkąta BCD:
α = 180° - 60° - 45° = 75°
c)
Kąt oparty na półokręgu jest kątem prostym.
|AC| = 2r ⇒ |∡ABC| = 90°
|BO| = |CO| = r ⇒ |∡BCO| = |∡CBO| = (180° - 55°):2 = 62,5°
α = 90° - 62,5° = 27,5°
d)
Kąt α jest kątem wierzchołkowym do kąta BOP
|BO| = |AO| = r ⇒ |∡ABO| = |∡BAO| ⇒ |∡AOB| = 180° - 55°·2 = 90°
α = |∡BOP| = 90° - 50° = 40°
