Odpowiedź:
[tex]\huge\boxed{1)\ D:\ x\in(2;\ \infty)}}\\\boxed{2)\ D:x\in\left(-\infty; \dfrac{5-\sqrt{17}}{2}\right)}\\\boxed{\cup\left(\dfrac{5+\sqrt{17}}{2};\infty\right)}\\\boxed{3)\ D:x\in(-\infty;\ 1)\ \cup\ (3;\ \infty)}[/tex]
Szczegółowe wyjaśnienie:
Jak wiemy:
[tex]\log_ab=c\iff a^c=b\ \text{dla}\ a\in\mathbb{R^+}-\{1\}\ \wedge\ b>0[/tex]
Stąd:
[tex]1)\ f(x)=\log_3\left(\dfrac{1}{8}x^2-1\right)\\\\D:\ \dfrac{1}{8}x^3-1>0\qquad|+1\\\\\dfrac{1}{8}x^3>1\qquad|\cdot8\\\\x^3>8\to x>\sqrt[3]8\\\\x>2\\\\\boxed{D:\ x\in(2;\ \infty)}[/tex]
[tex]2)\ f(x)=\log\bigg[1-\log(x^2-5x+12)\bigg]\\\\D:\ x^2-5x+12>0\ \wedge\ 1-\log(x^2-5x+12)>0\\\\(1)\ x^2-5x+12>0\\\\a=1;\ b=-5;\ c=12\\\\\Delta=b^2-4ac\\\\\Delta=(-5)^2-4\cdot1\cdot12=25-48=-24<0[/tex]
[tex]a=1>0[/tex] - ramiona paraboli skierowane w górę oraz brak miejsc zerowych.
Wniosek: wyrażenie przyjmuje tylko wartości dodatnie
[tex]D:x\in\mathbb{R}[/tex]
[tex](2)\ 1-\log(x^2-5x+12)>0\qquad|-1\\\\-\log(x^2-5x+12)>-1\qquad|\cdot(-1)\\\\\log(x^2-5x+12)<1\\\\\log(x^2-5x+12)<\log10[/tex]
Logarytm jest funkcją różnowartościową. W naszym przykładzie w podstawie ma liczbę 10 > 1. Zatem jest funkcją rosnącą. Opuszczając logarytmy nie zmieniamy zwrotu znaku nierówności.
[tex]x^2-5x+12<10\qquad|-10\\\\x^2-5x+2<0\\\\a=1;\ b=-5;\ c=2\\\\\Delta=(-5)^2-4\cdot1\cdot2=25-8=17\\\\\sqrt\Delta=\sqrt{17}\\\\x_1=\dfrac{5-\sqrt{17}}{2};\ x_2=\dfrac{5+\sqrt{17}}{2}[/tex]
rysunek w załączniku
[tex]D:x\in\left(-\infty;\ \dfrac{5-\sqrt{17}}{2}\right)\ \cup\ \left(\dfrac{5+\sqrt{17}}{2};\ \infty\right)[/tex]
Z (1) i (2) mamy:
[tex]\boxed{D:x\in\left(-\infty;\ \dfrac{5-\sqrt{17}}{2}\right)\ \cup\ \left(\dfrac{5+\sqrt{17}}{2};\ \infty\right)}[/tex]
[tex]3)\ f(x)=\log_2\left(4^x-12\cdot2^x+32\right)\\\\D:4^x-12\cdot2^x+32>0\\\\(2^x)^2-12\cdot2^x+32>0\\\\2^x=t>0\\\\t^2-12t+32>0\\\\t^2-4t-8t+32>0\\\\t(t-4)-8(t-4)>0\\\\(t-4)(t-8)>0\\\\t=4;\ t=8[/tex]
rysunek w załączniku
[tex]0<t<2\ \vee\ t>8[/tex]
Wracamy do podstawienia
[tex](1)\ 0<2^x<2\\\\2^x>0\to x\in\mathbb{R}\\\\2^x<2[/tex]
funkcja wykładnicza jest różnowartościowa. Podstawa wynosi 2 > 1. Zatem jest rosnąca. Opuszczając podstawę nie zmieniamy zwrotu znaku nierówności.
[tex]2^x<2\iff x<1[/tex]
[tex]x\in(-\infty;\ 1)[/tex]
[tex](2)\ 2^x>8\\\\2^x>2^3\iff x>3\\\\x\in(3;\ \infty)[/tex]
Z (1) lub (2) mamy:
[tex]\boxed{D:x\in(-\infty;\ 1)\ \cup\ (3;\ \infty)}[/tex]
