Odpowiedź:
[tex]$(1-i\sqrt{3} )^{12}=4096[/tex]
Szczegółowe wyjaśnienie:
[tex]$(1-i\sqrt{3} )^{12}[/tex]
Obliczamy moduł:
[tex]|z|=\sqrt{a^{2}+b^{2}}=\sqrt{1+3} =2[/tex]
Obliczamy argument:
[tex]$sin \varphi=\frac{b}{|z|}=-\frac{\sqrt{3} }{2} \wedge cos \varphi=\frac{a}{|z|}=\frac{1}{2} \Rightarrow \varphi=-\frac{\pi}{3}[/tex]
Korzystamy ze wzoru de Moivre'a:
[tex]$z=|z|^{n}(cos(n \varphi)+isin(n \varphi))[/tex]
Mamy:
[tex]$(1-i\sqrt{3} )^{12}=2^{12}\Big(cos\Big(\frac{-12\pi }{3} \Big)+isin\Big(\frac{-12\pi }{3} \Big)\Big)=2^{12}(cos(-4\pi )+isin(-4\pi ))=[/tex]
[tex]=2^{12}=4096[/tex]
Zapiszmy jeszcze wynik w postaci [tex]x+yi[/tex] :
[tex]$(1-i\sqrt{3} )^{12}=4096+0i[/tex]
