Odpowiedź:
Na początek przyjmijmy, że długość boku całego trójkąta wynosi a. Wówczas każdy z krótkich odcinków ma długość [tex]\frac{a}{4}[/tex].
Poprowadźmy pionową wysokość trójkąta - podzieli nam go ona na połowy. Pole zamalowanej części (na moim rysunku oznaczonej [tex]P[/tex]) to w istocie pole połowy trójkąta minus część na lewo od zamalowanej ([tex]P_1[/tex] na moim rysunku) i mały trójkąt na dole po prawej ([tex]P_2[/tex]).
Długość wspomnianej wysokości obliczymy ze wzoru na wysokość w trójkącie równobocznym:
[tex]h=\frac{a\sqrt3}{2}[/tex]
Ze wzoru na pole trójkąta równobocznego mamy
[tex]P_\triangle = \frac{a^2\sqrt3}{4}[/tex]
Rozważana przez nas połowa ma zatem pole równe
[tex]P_{pol}=\frac{1}{2}\cdot\frac{a^2\sqrt3}{4}=\frac{a^2\sqrt3}{8}[/tex]
Obliczmy teraz pola [tex]P_1[/tex] i [tex]P_2[/tex], aby dojść do tego, jakie jest pole [tex]P[/tex].
Trójkąt 1 to zwykły trójkąt prostokątny. Mamy podstawę i wysokość, zatem możemy obliczyć jego pole:
[tex]P_1=\frac{1}{2}\cdot\frac{a}{4}\cdot\frac{a\sqrt3}{2}=\frac{a^2\sqrt3}{16}[/tex]
Zauważmy, że trójkąt 2 to mały trójkąt równoboczny o boku długości [tex]\frac{a}{4}[/tex]. Zatem jego pole obliczymy ze wzoru na pole trójkąta równobocznego, podstawiając [tex]\frac{a}{4}[/tex] jako długość boku:
[tex]P_2=\frac{1}{4}\cdot\left(\frac{a}{4}\right)^2\cdot\sqrt3=\frac{1}{4}\cdot\frac{a^2\sqrt3}{16}=\frac{a^2\sqrt3}{64}[/tex]
[Uwaga na boku, gdyby było trzeba dowodzić, że trójkąt 2 jest równoboczny - do tego posłuży drugi załączony rysunek - ten z podpisanymi punktami]
ABC - trójkąt równoboczny. Zauważmy, że [tex]DE\parallel AC[/tex]. Stąd [tex]|\measuredangle EDB| = |\measuredangle CAB|=60^{\circ}[/tex] oraz [tex]|\measuredangle DEB| = |\measuredangle ACB| = 60^{\circ}[/tex]. Trzeci kąt oba trójkąty (ABC i DBE) mają wspólny - jest to kąt przy wierzchołku B, [tex]|\measuredangle B|=60^\circ[/tex]. Trójkąt, który ma wszystkie kąty o mierze 60°, jest równoboczny, co kończy dowód.
[koniec uwagi na boku]
Obliczymy teraz pole zamalowanego obszaru. Jak już wskazaliśmy słownie,
[tex]P=P_{pol}-(P_1+P_2)=P_{pol}-P_1-P_2[/tex]
[tex]P=\frac{a^2\sqrt3}{8} - \frac{a^2\sqrt3}{16}-\frac{a^2\sqrt3}{64}[/tex]
Wyłączmy wspólny czynnik przed nawias:
[tex]P=\frac{a^2\sqrt3}{8} - \frac{a^2\sqrt3}{16}-\frac{a^2\sqrt3}{64} = \frac{a^2\sqrt3}{8}-\frac{1}{2}\cdot\frac{a^2\sqrt3}{8}-\frac{1}{8}\cdot\frac{a^2\sqrt3}{8}\\\phantom{P}= \frac{a^2\sqrt3}{8}\left(1-\frac{1}{2}-\frac{1}{8}\right) = \frac{a^2\sqrt3}{8}\cdot\frac{3}{8}[/tex]
Mamy ustalić, jaka część całego trójkąta została zamalowana, czyli jaką częścią [tex]P_\triangle[/tex] jest [tex]P[/tex]. Przypomnijmy, że [tex]P_\triangle=\frac{a^2\sqrt3}{4}[/tex]. Przekształćmy [tex]P[/tex] tak, żeby zobaczyć, jaką częścią całego pola jest zamalowana część.
[tex]P=\left(\frac{a^2\sqrt3}{8}\right)\cdot\frac{3}{8} = \left(\underline{\frac{a^2\sqrt3}{4}} \cdot \frac{1}{2}\right) \cdot \frac{3}{8}[/tex]
(Nawiasy są po to, żeby pokazać, co jest tą samą częścią, niczego nie zmieniają w obliczeniach)
Zauważmy, że podkreślona część to w istocie wzór na pole całego trójkąta, tzn.
[tex]P=\left(\underline{\frac{a^2\sqrt3}{4}} \cdot \frac{1}{2}\right) \cdot \frac{3}{8} = P_\triangle\cdot\frac{1}{2}\cdot\frac{3}{8}=\frac{3}{16}P_\triangle[/tex]
Obliczyliśmy, że
[tex]P=\frac{3}{16}P_\triangle[/tex]
Zatem zamalowana część stanowi [tex]\frac{3}{16}[/tex] całego pola trójkąta.
