Odpowiedź:
W rozwiązaniu będę odnosił się do oznaczeń z załączonego przeze mnie rysunku. Rozpisuję wszystkie działania dość szczegółowo, oczywiście nie trzeba tego aż tak opisywać w rozwiązaniu.
Zacznijmy od potrzebnych nam wzorów.
Pole trapezu: [tex]P=\frac{(a+b)\cdot h}{2}[/tex], gdzie a i b to podstawy, a h to wysokość trapezu
Na naszym rysunku [tex]a=|CD|,\, b=|AB|,\, h=|CF|[/tex]
Obwód to suma długości wszystkich boków, czyli u nas
[tex]L=|AB|+|BC|+|CD|+|DA|[/tex]
Wyznaczymy teraz długość wszystkich potrzebnych nam odcinków. W tym celu podzielimy nas trapez na trzy figury: prostokąt (pośrodku) i dwa trójkąty.
Zauważmy na początek, że czworokąt EFCD to prostokąt, zatem
[tex]|EF|=|DC|=5\\|DE|=|CF|=\sqrt3[/tex]
Przyjrzyjmy się teraz trójkątowi AED. Widzimy, że jest to trójkąt charakterystyczny o kątach 45°, 45°, 90° (czyli połowa kwadratu). Jest to trójkąt równoramienny i prostokątny. Stąd wnioskujemy, że
[tex]|AE|=|DE|=\sqrt3[/tex]
W takim trójkącie charakterystycznym zachodzi wzór na przeciwprostokątną: [tex]y=x\sqrt2[/tex], gdzie y - przeciwprostokątna, x - przyprostokątna (dowolnie wybrana, bo są równej długości).
U nas y to odcinek AD, stąd:
[tex]|AD|=\sqrt3\cdot\sqrt2=\sqrt6[/tex]
Przejdźmy do trójkąta BCF. Ma on kąty wewnętrzne o miarach 30°, 60°, 90°, zatem również jest to trójkąt charakterystyczny (połowa trójkąta równobocznego). W takim trójkącie wiemy, że najkrótszy bok to połowa przeciwprostokątnej (u nas [tex]|CF|=\frac{1}{2}|BC|[/tex]) oraz mamy wzór na trzeci bok:
[tex]|FB|=\frac{|BC|\sqrt3}{2}[/tex]
Zastosujmy podane wzory do obliczenia szukanych długości boków:
[tex]|CF|=\frac{1}{2}|BC|\iff|BC|=2|CF|=2\cdot\sqrt3=2\sqrt3[/tex]
[tex]|FB|=\frac{|BC|\sqrt3}{2}=\frac{2\sqrt3\cdot\sqrt3}{2}=3[/tex]
Do obliczeń będziemy potrzebowali długości całego odcinka AB. Zauważmy, że
[tex]|AB|=|AE|+|EF|+|FB|[/tex]
Długości wszystkich tych krótszych odcinków mamy już obliczone. Podstawmy:
[tex]|AB|=\sqrt3+5+3=8+\sqrt3[/tex]
Mamy już długości wszystkich boków.
Podstawmy wartości do wzorów na pole i obwód trapezu ABCD.
Przypomnijmy, że [tex]P=\frac{(a+b)\cdot h}{2}[/tex], gdzie [tex]a=|CD|,\, b=|AB|,\, h=|CF|[/tex]. Stąd
[tex]P=\frac{\left(5+(8+\sqrt3)\right)\cdot\sqrt3}{2} = \frac{\left(13+\sqrt3\right)\cdot\sqrt3}{2} = \frac{13\sqrt3+3}{2}[/tex]
To jest najprostsza sensowna postać, w jakiej możemy zapisać nasz wynik.
Przejdźmy do policzenia obwodu. Przypomnijmy, że [tex]L=|AB|+|BC|+|CD|+|DA|[/tex]. Mamy
[tex]L=(8+\sqrt3)+2\sqrt3+5+\sqrt6=13+3\sqrt3+\sqrt6[/tex]
To również najprostsza postać wyniku.
