Odpowiedź:
[tex]$ \lim_{t \to \infty} (\tanh t)^{t}=1[/tex]
Szczegółowe wyjaśnienie:
[tex]$ \lim_{t \to \infty} (\tanh t)^{t}=\lim_{t \to \infty} e^{\ln(\tanh t)^{t}}=\lim_{t \to \infty}e^{t \cdot \ln(\tanh t)}[/tex]
Teraz zajmiemy się wykładnikiem, a konkretnie jego granicą:
[tex]$\lim_{t \to \infty} t \cdot \ln(\tanh t)=\frac{\ln (\tanh t)}{\frac{1}{t} }[/tex]
Teraz korzystamy z reguły de l'Hospitala:
[tex]$\lim_{t \to \infty} \frac{\frac{1}{\tanh t} \cdot \frac{1}{\cosh^{2}t} }{-\frac{1}{t^{2}} } =-\lim_{t \to \infty} \frac{2t^{2}}{sinh(2t)}[/tex]
Dalej mamy (znowu ta reguła):
[tex]$\lim_{t \to \infty} \frac{4t}{2cosh(2t)} =\lim_{t \to \infty} \frac{2t}{cosh(2t)}[/tex]
Ostatni raz jedziemy ze szpitalem:
[tex]$\lim_{t \to \infty} \frac{2}{2sinh(2t)} =\lim_{t \to \infty} \frac{1}{sinh(2t)} =\Big[\frac{1}{\infty} \Big]=0[/tex]
Zatem cała granica to:
[tex]$ \lim_{t \to \infty} (\tanh t)^{t}=e^{0}=1[/tex]
