3.
[tex]2^{x+3}-2^{x} = 28[/tex]
[tex]ale: \ \ 2^{x+3} = 2^{x}\cdot 2^3, \ zatem[/tex]
[tex]2^{x}\cdot2^{3}-2^{x} = 28\\\\2^{x}\cdot8 - 2^{x} = 28\\\\2^{x}(8-1) = 28\\\\2^{x}\cdot 7 = 28 \ \ /:7\\\\2^{x} = 4[/tex]
Prawą stronę równania zamieniam na potęgę 2 tak, aby po obu stronach równania były te same podstawy, 4 = 2²
[tex]2^{x} = 2^{2}[/tex]
Ponieważ podstawa jest taka sama, opuszczam ją i porównuję wykładniki.
[tex]\boxed{x = 2}[/tex]
4.
Nierówności wykładnicze, to nierówności w których niewiadoma x występuje tylko w wykadnikach potęgi.
[tex]2^{x-4} \cdot8^{3-2x} \leq 4^{3x-3}\\[/tex]
Po obu stronach nierówności doprowadzamy do takiej samej podstawy, czyli 2:
[tex]2^{x-4}\cdot(2^{3})^{3-2x} \leq (2^{2})^{3x-3}\\\\2^{x-4}\cdot2^{3(3-2x)} \leq 2^{2(3x-3)}\\\\2^{x-4}\cdot2^{9-6x} \leq 2^{6x-6}[/tex]
Korzystamy z własności potęg: [tex]a^{m}\cdot a^{n} = a^{m+n}[/tex]
[tex]2^{x-4+9-6x} \leq 2^{6x-6}\\\\2^{-5x+5} \leq 2^{6x-6}[/tex]
Ponieważ podstawa jest taka sama, opuszczam ją i porównuję wykładniki
[tex]-5x+5 \leq 6x-6\\\\-5x-6x \leq -6-5\\\\-11x\leq -11 \ \ /:(-11)\\\\\boxed{x \geq 1}\\\\\underline{x \in \ < 1;+\infty)}[/tex]
