Odpowiedź:
zad 1.
nierówność trójkąta dla ABD: [tex]c+d>e[/tex]
nierówność trójkąta dla BCD: [tex]a+b>e[/tex]
Zauważmy, że z tych dwóch nierówności wynika taka (wynika to z kropki nr 3):
[tex](a+b)+(c+d)>e+e[/tex], no ale [tex]a+b+c+d=L[/tex], więc mamy:
[tex]L>2e[/tex], albo zapisując to samo tak : [tex]2e<L[/tex]
Otrzymaliśmy to co było trzeba.
zad 2. Mamy udowodnić podobną nierówność jak w zad 1, tylko, że dla przekątnej f, więc znajdźmy dwa trójkąty które mają bok f i ułóżmy dla nich nierówności trójkąta:
nierówność trójkąta dla ACD: [tex]b+c>f[/tex]
nierówność trójkąta dla ABC: [tex]a+d>f[/tex]
Zauważmy, że z tych dwóch nierówności wynika taka (wynika to z kropki nr 3):
[tex](a+d)+(b+c)>2f\\L>2f\\2f<L[/tex]
Otrzymaliśmy to co było trzeba.
zad 3.
Wiemy, że ten czworokąt (z podręcznika) ABCD z przekątnymi e i f jest przykładem dowolnego czworokąta.
Zatem niech nasz dowolny czworokąt będzie taki jak w podręczniku.
Wiemy z zad 1 i zad 2, że dla tego dowolnego czworokąta mamy spełnione nierówności :
[tex]2e<L[/tex] oraz
[tex]2f<L[/tex]
gdzie e i f to przekątne a L-obwód. Zauważmy, że z tych dwóch nierówności wynika taka:
[tex](2e)+(2f)<L+L[/tex], czyli
[tex]2e+2f<2L[/tex]
Wiemy z kropki nr 2, że nierówności możemy mnożyć przez liczby dodatnie, więc pomnóżmy przez [tex]\frac{1}{2}[/tex]
[tex]e+f<L[/tex]
Otrzymaliśmy, że suma przekątnych jest mniejsza od obwodu, a skoro ten nasz czworokąt był dowolny, to znaczy, że ta zasada jest spełniona dla dowolnego czworokąta (każdego czworokąta).
Szczegółowe wyjaśnienie:
