Odpowiedź:
15.
Wierzchołki A i C są przeciwległe, więc odległość pomiędzy nimi to przekątna kwadratu. Obliczmy tę długość: [tex]|AC|=\sqrt{(-4-2)^2+(1-(-1))^2}=\sqrt{(-6)^2+2^2)}=\sqrt{36+4}=\sqrt{40}=2\sqrt{10\\}[/tex].
Ale pamiętamy, że jeśli bok kwadratu ma jakąś długość "[tex]a[/tex]", to jego przekątna ma długość [tex]a\sqrt{2}[/tex]. Zatem mamy, że
[tex]a\sqrt{2}=2\sqrt{10}[/tex], teraz obliczając "a" dostaniemy:
[tex]a=\frac{2\sqrt{10} }{\sqrt{2} }=2\cdot \sqrt{\frac{10}{2} } =2\sqrt{5}[/tex] , pole kwadratu to oczywiście : [tex]P=a^2[/tex], więc
[tex]P=(2\sqrt{5})^2=4\cdot 5=20[/tex].
16.
Wzór na środek odcinka:
[tex]S=\Big(\frac{x_1+x_2}{2} , \frac{y_1+y_2}{2} \Big)[/tex], znamy współrzędne jednego z punktów, więc współrzędne drugiego oznaczmy jako niewiadome B=(x,y). Wtedy podkładając do wzoru na środek, otrzymamy:
[tex]\Big(2, 7\Big)=\Big(\frac{-3+x}{2}, \frac{2+y}{2} \Big)[/tex], to równanie opisuje równość dwóch punktów, a jakieś dwa punkty są równe, kiedy mają te same współrzędne, więc możemy przyrównać do sienie współrzędne w taki sposób:
[tex]2=\Big(\frac{-3+x}{2} \Big) \ oraz\ 7=\Big(\frac{2+y}{2} \Big)[/tex],czyli obliczając niewiadome z obu równań, dostaniemy:
[tex]x=7\ i\ y=12[/tex] , są to współrzędne punktu B.
17. Nie napisano w treści ile to jest ten [tex]\cos(\alpha)[/tex], więc podam ogólny wzór.
Trzeba wykorzystać " 1 trygonometryczną" , wiemy, że zawsze :
[tex]\sin^2(\alpha)+\cos^2(\alpha)=1[/tex]
Obliczając z tego równania sinusa, dostaniemy:
[tex]\sin^2(\alpha)=1-\cos^2(\alpha)\\\sin(\alpha)=+\ \sqrt{1-\cos^2(\alpha)}\ lub\ -\ \sqrt{1-\cos^2(\alpha)}[/tex]
Ale z treści zadania wynika, że kąt alfa jest ostry, czyli sinus tego kąta powinien być dodatni, zatem w tym przypadku odpowiedź to:
[tex]\sin(\alpha)=+\ \sqrt{1-\cos^2(\alpha)}[/tex]
Wystarczy podstawić do tego wyniku ten cosinus, jeśli był podany w zadaniu.
18.
Bardzo podobne jak wyżej, tylko teraz z " 1 trygonometrycznej" wyznaczamy cosinusa, czyli:
[tex]\cos^2(\alpha)=1-\sin^2(\alpha)\\\cos(\alpha)=+ \sqrt{1-\sin^2(\alpha)} \ lub\ \cos(\alpha)= - \sqrt{1-\sin^2(\alpha)}[/tex]
Skoro w zadaniu kąt alfa jest rozwarty, to jego cosinus powinien być ujemny:
[tex]\cos(\alpha)= - \sqrt{1-\sin^2(\alpha)}[/tex]
19.
Patrz rysunek!
Żeby obliczyć pole i obwód potrzebujemy boku tego trójkąta. Z treści zadania i rysunku wynika, że
[tex]\sin(60^{\circ})=\frac{5}{a} \\\frac{\sqrt{3} }{2}=\frac{5}{a} \\\sqrt{3}\cdot a=10\\a= \frac{10}{\sqrt{3} }=\frac{10\sqrt{3} }{3}[/tex], czyli
[tex]Ob= 3\cdot a=3\cdot \frac{10\sqrt{3} }{3}=10\sqrt{3} \\\\P=\frac{ah}{2}= \frac{1}{2}\cdot \frac{10\sqrt{3} }{3}\cdot 5=\frac{5\sqrt{3} }{3} \cdot 5=\frac{25\sqrt{3} }{3}[/tex]
Szczegółowe wyjaśnienie:
