[tex]W(x)=-x^3+\dfrac{1}{2}x^2+4x-2[/tex]
Sprawdzamy czy ta liczba jest pierwiastkiem:
[tex]W(-2)=-1\cdot(-2)^3+\dfrac{1}{2}\cdot(-2)^2+4\cdot(-2)-2=8+2-8-2=0[/tex]
W(-2) = 0, zatem liczba -2 jest pierwiastkiem tego wielomianu.
Pierwiastkami całkowitymi tego wielomianu mogą być tylko dzielniki wyrazu wolnego, czyli liczby:
[tex]-6,\ -3,\ -2,\ -1,\ 1,\ 2,\ 3,\ 6[/tex]
Widzimy, że liczba 1 jest pierwiastkiem tego wielomianu, więc:
[tex]W(x)=x^3-2x^2-5x+6=x^3-x^2-x^2+x-6x+6=\\\\=x^2(x-1)-x(x-1)-6(x-1)=(x-1)(x^2-x-6)=\\\\=(x-1)(x^2+2x-3x-6)=(x-1)(x(x+2)-3(x+2))=\\\\=(x-1)(x+2)(x-3)[/tex]
Po przekształceniach wnioskujemy, że pierwiastkami tego wielomianu mogą być tylko liczby -2, 1, 3.
[tex]-2x^5+8x^4-6x^3=0\\\\x^5-4x^4+3x^3=0\\\\x^3(x^2-4x+3)=0\\\\a=1,\ b=-4,\ c=3\\\\\Delta=b^2-4ac=(-4)^2-4\cdot1\cdot3=16-12=4\\\\\sqrt{\Delta}=2\\\\x_1=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{4-2}{2}=1\\\\x_2=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{4+2}{2}=3\\\\\boxed{x\in\{0,1,3\}}[/tex]
