Zadanie 1
Oznaczmy:
a -- długość krawędzi sześcianu
Wtedy długość przekątnej tego sześcianu jest równa:
[tex]a\sqrt{3}[/tex]
Stąd:
[tex]a\sqrt{3}=a+3\\\\a\sqrt{3}-a=3\\\\a(\sqrt{3}-1)=3\\\\a=\dfrac{3}{\sqrt{3}-1}=\dfrac{3(\sqrt{3}+1)}{(\sqrt{3}-1)(\sqrt{3}+1)}=\dfrac{3(\sqrt{3}+1)}{(\sqrt{3})^2-1^2}=\dfrac{3(\sqrt{3}+1)}{3-1}=\boxed{\dfrac{3(\sqrt{3}+1)}{2}\ [\text{cm}]}[/tex]
Zadanie 2
Jest to prostopadłościan, którego podstawą jest kwadrat. Z twierdzenia Pitagorasa liczymy długość przekątnej podstawy:
[tex]d^2+H^2=D^2\\\\d^2+8^2=12^2\\\\d^2+64=144\\\\d^2=80\\\\d=4\sqrt{5}\ [\text{cm}][/tex]
Długość krawędzi podstawy:
[tex]d=a\sqrt{2}\\\\a=\dfrac{d}{\sqrt{2}}=\dfrac{4\sqrt{5}}{\sqrt{2}}=\dfrac{4\sqrt{5}\cdot\sqrt{2}}{\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}}=\dfrac{4\sqrt{10}}{2}=2\sqrt{10}\ [\text{cm}][/tex]
Objętość graniastosłupa:
[tex]V=P_p\cdot H=a^2\cdot H\\\\V=(2\sqrt{10})^2\cdot8=40\cdot8=\boxed{320\ [\text{cm}^3]}[/tex]
Pole powierzchni całkowitej:
[tex]P_{pc}=2P_p+P_b=2a^2+4aH\\\\P_{pc}=2\cdot(2\sqrt{10})^2+4\cdot2\sqrt{10}\cdot8=80+64\sqrt{10}=\boxed{16(5+4\sqrt{10})\ [\text{cm}^2]}[/tex]
