Friggaviz
Rozwiązane

Rozłożyć daną funkcję na ułamki proste...

Rozłożyć Daną Funkcję Na Ułamki Proste class=

Odpowiedź :

Louie314viz

Odpowiedź:

[tex]$G(s)=-\frac{5}{s+3} +\frac{9}{s+5}[/tex]

Szczegółowe wyjaśnienie:

[tex]$G(s)=\frac{4s+2}{s^{2}+8s+15}[/tex]

Rozłóżmy trójmian z mianownika:

[tex]s^{2}+8s+15=s^{2}+3s+5s+15=s(s+3)+5(s+3)=(s+3)(s+5)[/tex]

Zatem:

[tex]$G(s)=\frac{4s+2}{(s+3)(s+5)}[/tex]

Zatem spodziewamy się rozkładu:

[tex]$G(s)=\frac{A}{s+3} +\frac{B}{s+5}[/tex]

Mnożymy obustronnie przez [tex](s+3)(s+5)[/tex] :

[tex]4s+2=A(s+5)+B(s+3)[/tex]

[tex]4s+2=(A+B)s+5A+3B[/tex]

Stąd natychmiast mamy:

[tex]\left\{\begin{array}{ccc}A+B=4\\5A+3B=2\end{array}\right[/tex]

Mnożąc pierwsze równanie przez [tex](-3)[/tex] i dodając stronami mamy:

[tex]2A=-10\\A=-5[/tex]

Obliczamy [tex]B[/tex] :

[tex]B=9[/tex]

Zatem mamy rozwiązanie:

[tex]$G(s)=-\frac{5}{s+3} +\frac{9}{s+5}[/tex]

Cyna4viz

Zapisujemy mianownik w postaci iloczynowej:

[tex]a=1,\ b=8,\ c=15\\\\\Delta=b^2-4ac=8^2-4\cdot1\cdot15=64-60=4\\\\\sqrt{\Delta}=2\\\\s_1=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{-8-2}{2}=-5\\\\s_2=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{-8+2}{2}=-3\\\\\\s^2+8s+15=(s+5)(s+3)[/tex]

Będziemy mieli rozkład postaci:

[tex]G(s)=\dfrac{A}{s+5}+\dfrac{B}{s+3}[/tex]

Stąd:

[tex]\dfrac{4s+2}{(s+5)(s+3)}=\dfrac{A}{s+5}+\dfrac{B}{s+3}\\\\\\4s+2=A(s+3)+B(s+5)[/tex]

Dla s = -3 mamy:

[tex]-10=0+B\cdot2\\\\2B=-10\\\\B=-5[/tex]

Dla s = -5 mamy:

[tex]-18=A\cdot(-2)+0\\\\-2A=-18\\\\A=9[/tex]

Szukany rozkład:

[tex]\boxed{G(s)=\dfrac{9}{s+5}+\dfrac{-5}{s+3}}[/tex]

Viz Inne Pytanie