Odpowiedź:
a) Z twierdzenia cosinusów:
[tex]c=\sqrt{5^2+8^2-2\cdot5\cdot8\cos60^\circ}[/tex]
wiedząc, że [tex]\cos \left(60^{\circ}\right)=\frac{1}{2}[/tex]
[tex]c=\sqrt{25+64-80\cdot\frac12}=\sqrt{89-40}=\sqrt{49}=\boxed{7}[/tex]
b)
[tex]R=\frac{abc}{4P}[/tex] gdzie P to pole trójkąta.
Pole trójkąta:
[tex]P=\frac12\cdot5\cdot8\cdot\sin60^\circ=10\sqrt3[/tex]
[tex]R=\cfrac{5\cdot7\cdot8}{4\cdot10\sqrt3}=\cfrac{7}{\sqrt{3}}=\boxed{\cfrac{7\sqrt3}{3}}[/tex]
c)
wykorzystam fakt, że pole trójkąta jest równe polowi dwóch trójkątów na które dzieli ta dwusieczna ten trójkąt.
[tex]\frac12\cdot5\cdot8\cdot\sin60^\circ=\frac12\cdot5\cdot x\cdot\sin30^\circ+\frac12\cdot8\cdot x\cdot\sin30^\circ\\10\sqrt3=\frac{13}{4}x\\\boxed{x=\cfrac{40\sqrt3}{13}}[/tex]
d)
długość środkowej opadającej na bok 7 jest dana wzorem:
[tex]d=\frac12\sqrt{2\cdot a^2+2\cdot b^2-c^2}=\frac12\sqrt{2\cdot5^2+2\cdot8^2-7^2}=\boxed{\frac{\sqrt{129}}{2}}[/tex]
