Odpowiedź i szczegółowe wyjaśnienie:
ZADANIE 1.
Korzystamy z jedynki trygonometrycznej oraz tego, że kąt jest kątem ostrym a to oznacza, że wszystkie wartości trygonometryczne sa dodatnie (kąt w I ćwiartce).
Zatem:
[tex]cos\alpha=\dfrac34\\\\sin^2\alpha+cos^2\alpha=1\\\\sin^2\alpha=1-cos^2\alpha\\\\sin^2\alpha=1-(\dfrac34)^2\\\\sin^2\alpha=1-\dfrac{9}{16}\\\\sin^2\alpha=\dfrac{16}{16}-\dfrac{9}{16}\\\\sin^2\alpha=\dfrac{7}{16}\\\\sin\alpha=\sqrt{\dfrac{7}{16}}=\dfrac{\sqrt7}{4}\ \vee\ sin\alpha=-\dfrac{\sqrt7}{4}[/tex]
Wartość ujemną sinusa odrzucamy, gdyż skoro kąt jest kątem ostrym to znajduje się w I ćwiartce a w niej wszystkie wartości trygonometryczne są dodatnie.
Zatem, sinus kąta ostrego wynosi pierwiastek z 7 przez 4, czyli odpowiedź: C
ZADANIE 2.
Skoro bok rombu ma długość 6 pierwiastek z 2 oraz kąt ma miarę 45 stopni wyznaczymy jego pole.
Mając pole skorzystamy ze wzoru: iloczyn przekątnych przez 2 i w ten sposób będziemy mieli rozwiazanie naszego zadania.
A więc:
[tex]P=a^2\cdot sin\alpha\\\\P=(6\sqrt2)^2\cdot \dfrac{\sqrt2}{2}=36\cdot2\cdot\dfrac{\sqrt2}{2}=36\sqrt2[/tex]
Inny wzór określający pole rombu z wykorzystaniem przekątnych ma postać:
[tex]P=\dfrac{d_1\cdot d_2}{2}\\\\A\ wiec:\\\\\dfrac{d_1\cdot d_2}{2}=36\sqrt2\ /\cdot 2\\\\d_1\cdot d_2=72\sqrt2[/tex]
Zatem, iloczyn długości przekątnych w tym rombie wynosi 72 pierwiastki z 2, czyli odpowiedź D
