a)
Liczby mniejsze od danej to takie, które mają mniejszy początek, albo przy jednakowym początku mają mniejszy dalszy ciąg.
Czyli, ponieważ wśród dostępnych cyfr nie mamy 5 ani 3, mniejsze będą liczby zaczynające się na 42, 41, 40 oraz na 2 i a 1 (liczby sześciocyfrowe nie mogą zaczynać się od 0)
Ilość liczb mniejszych od 452310 utworzonych z cyfr {0,1,2,4,7,9} to:
zaczynające się na 42_ _ _ _: 4·3·2·1 = 24
zaczynające się na 41_ _ _ _ : 4·3·2·1 = 24
zaczynające się na 40_ _ _ _ : 4·3·2·1 = 24
zaczynające się na 2_ _ _ _ _: 5·4·3·2·1 = 120
zaczynające się na 1_ _ _ _ _ : 5·4·3·2·1 = 120
Razem:
3·4·3·2·1 + 2·5·4·3·2·1 = 3·24 + 2·120 = 72 + 240 = 312
b)
Liczby podzielne przez 4, to takie, których ostatnie dwie cyfry tworzą liczbę podzielną przez 4.
Z dostępnych cyfr możemy utworzyć 6 liczb dwucyfrowych podzielnych przez 4 o niepowtarzających się cyfrach: 12, 20, 24, 40, 72, 92 oraz 04.
Ponieważ na pierwszą cyfrę liczby dwucyfrowej nie możemy wybrać 0, a w końcówce podzielnej przez 4 występuje lub nie, musimy rozważyć dwa przypadki:
1° Ostatnie dwie cyfry to: 20, 40 lub 04, czyli trzy możliwości.
Pozostałe 4 cyfry liczby możemy wybrać dowolnie z 4 dostępnych, czyli na 4·3·2·1 sposobów, więc liczb mających końcówkę 20, 40 lub 04 jest:
3·4·3·2·1 = 72
2° Ostatnie dwie cyfry to: 12, 24, 72 lub 92, czyli cztery możliwości.
Pierwszą cyfrą liczby sześciocyfrowej nie może być 0, czyli zostają nam do wyboru 3 możliwe cyfry. Po wykorzystaniu trzech cyfr (dwie na końcówkę i jedna na pierwszą cyfrę) zostały nam 3 cyfry na obsadzenie 3 miejsc, czyli możemy to zrobić na 3·2·1 sposobów, więc liczb mających końcówkę 12, 24, 72 lub 92 jest:
4·3·3·2·1 = 72
Razem:
3·4·3·2·1 + 4·3·3·2·1 = 72 + 72 = 144
