a)
1° x∈(-∞, -4)
x<¹/₃ ⇒ |3x - 1| = -3x + 1
x<-4 ⇒ |2x+8| = -2x - 8
Czyli:
[tex]|3x - 1| + |2x +8| >12\\\\-3x+1-2x-8>12\\\\-5x>19\qquad/:(-5)\\\\x<-\dfrac{19}{5}\\\\x<-3\frac45\quad\wedge\quad x\in(-\infty\,;-4)\\\\ x\in(-\infty\,;-4)[/tex]
2° x∈<-4, ¹/₃)
x<¹/₃ ⇒ |3x - 1| = -3x + 1
x≥-4 ⇒ |2x+8| = -2x - 8
Czyli:
[tex]|3x - 1| + |2x +8| >12\\\\-3x+1+2x+8>12\\\\-x>3\qquad/:(-1)\\\\x<-3\\\\x<-3\quad\wedge\quad x\in\big<-4\,,\frac13)\\\\ x\in\big<-4\,;-3)[/tex]
3° x∈<¹/₃, ∞)
x≥¹/₃ ⇒ |3x - 1| = 3x - 1
x≥-4 ⇒ |2x+8| = 2x + 8
Czyli:
[tex]|3x - 1| + |2x +8| >12\\\\3x-1+2x+8>12\\\\5x>5\qquad/:5\\\\x>1\\\\x>1\quad\wedge\quad x\in\big<\frac13\,;\infty)\\\\ x\in\big(1\,;\infty)[/tex]
Rozwiązaniem nierówności jest suma rozwiązań w poszczególnych przedziałach:
[tex]x\in (-\infty\,;-4)\cup\big<-4\,;-3)\cup(1\,;\infty)\\\\\underline{\,\underline{\,x\in (-\infty\,;-3)\cup(1\,;\infty)\,}\,}[/tex]
b)
|2x - 4| + |x + 3| = 14
Z def. [tex]|2x-4|=\begin{cases}2x-4\,\ gdy\ 2x-4\ge0, czyli\ dla\ x\ge2\\-2x+4\,\ gdy\ 2x-4<0, czyli\ dla\ x<2\end{cases}\\\\|x+3|=\begin{cases}x+3\,\ gdy\ x+3\ge0, czyli\ dla\ x\ge-3\\-x-3\,\ gdy\ x+3<0, czyli\ dla\ x<-3\end{cases}[/tex]
Czyli rozpatrujemy 3 przypadki:
1° x∈(-∞, -3), 2° x∈<-3, 2), 3° x∈<2, ∞)
1° x∈(-∞, -3)
x < 2 ⇒ |2x - 4| = -2x + 4
x < -3 ⇒ |x + 3| = -x - 3
czyli:
|2x - 4| + |x + 3| = 14
-2x + 4 - x - 3 = 14
-3x + 1 = 14
-3x = 13 /:(-3)
x = -¹³/₃
x = -4¹/₃ ∧ x∈(-∞, -3)
x = -4¹/₃
2° x∈<-3, 2)
x<2 ⇒ |2x - 4| = -2x + 4
x≥-3 ⇒ |x + 3| = x + 3
czyli:
|2x - 4| + |x + 3| = 14
-2x + 4 + x + 3 = 14
-x + 7 = 14
-x = 7 /:(-1)
x = -7
x = -7 ∧ x∈<-3, 2)
x ∈ ∅
3° x∈<2, ∞)
x≥2 ⇒ |2x - 4| = 2x - 4
x≥-3 ⇒ |x + 3| = x + 3
czyli:
|2x - 4| + |x + 3| = 14
2x - 4 + x + 3 = 14
3x - 1 = 14
3x = 15 /:3
x = 5
x = 5 ∧ x∈<2, ∞)
x = 5
Czyli ostatecznie:
x∈{-4¹/₃, 5}
