Odpowiedź i szczegółowe wyjaśnienie:
Skoro w zadaniu mowa o zbiorze wartości funkcji, więc naszą funkcję kwadratową musimy rozpatrywać w zależności od wartości q - czyli współrzędnej wierzchołka paraboli określającej właśnie jej zbiór wartości.
Zatem:
[tex]q=\dfrac{-\Delta}{4a}[/tex]
i ona MUSI być większa od 1 (wynika to z warunków zadania).
Zatem:
[tex]f(x)=x^2+(2m+2)x-m\\\\a=1;\ b=(2m+2);\ c=-m\\\\\Delta=b^2-4ac\\\Delta=(2m+2)^2-4\cdot1\cdot(-m)=4m^2+8m+4+4m=4m^2+12m+4\\[/tex]
Podstawiamy naszą obliczoną deltę do zależności (q):
[tex]q=\dfrac{-(4m^2+12m+4)}{4}>1\\\\\dfrac{-4m^2-12m-4}{4}>1\\\\\dfrac{4(-m^2-3m-1)}{4}>1\\\\-m^2-3m-1>1\\\\-m^2-3m-1-1>0\\-m^2-3m-2>0\ /\cdot(-1)\\\\m^2+3m+2<0\\\\m^2+m+2m+2<0\\\\m(m+1)+2(m+1)<0\\\\(m+1)(m+2)<0[/tex]
Określimy teraz miejsca zerowe:
[tex]m+1=0\ =>\ m=-1\\m+2=0\ =>\ m=-2[/tex]
Mamy postać iloczynową funkcji kwadratowej, jej ramiona skierowane są do góry, a znak nierówności mówi nam, że mamy znaleźć takie wartości (m), które leżą POD OSIĄ OX, zatem, ostatecznie rozwiązaniem jest przedział:
[tex]m\in(-2;-1)[/tex]
Co jest jednocześnie rozwiązaniem naszego zadania.
[tex]f(x) = x^{2}+(2m+2)x-m \ \ oraz \ \ ZW = \ <1;+\infty)\\\\a = 1, \ \ b = (2m+2), \ \ c = -m[/tex]
Jeżeli a > 0, to parabola zwrócona jest ramionami do góry, wówczas:
ZW = <q; +∞)
q = 1, zatem:
[tex]q = \frac{-\Delta}{4a}=1\\\\\Delta = b^{2}-4ac = (2m+2)^{2}-4\cdot1\cdot(-m) = 4m^{2}+8m+4+4m = 4m^{2}+12m+4=\\\\=4(m^{2}+3m+1)\\\\\\\frac{-4(m^{2}+3m+1)}{4} = 1\\\\-(m^{2}+3m+1) = 1 \ \ /:(-1)\\\\m^{2}+3m+1=-1\\\\m^{2}+3m+1+1 = 0\\\\m^{2}+3m+2 = 0\\\\\Delta_{m} = 3^{2}-4\cdot1\cdot2 = 9-8=1\\\\\sqrt{\Delta} = \sqrt{1} = 1\\\\m_1 = \frac{-3-1}{2} = \frac{-4}{2} = -2\\\\m_2 = \frac{-3+1}{2} = \frac{-2}{2} = -1\\\\\boxed{m\in (-2;-1)}[/tex]
