Odpowiedź:
[tex]$c=\frac{a}{a^{2}-10b^{2}} \ \wedge \ d=-\frac{b}{a^{2}-10b^{2}}[/tex]
Szczegółowe wyjaśnienie:
Założenia:
[tex]a,b \in \mathbb{Q} \wedge a^{2}+b^{2}\neq 0[/tex]
Dodatkowo łatwo stwierdzić, że:
[tex]a\pm\sqrt{2} \neq 0[/tex]
Równanie:
[tex](a+b\sqrt{10} )(c+d\sqrt{10} )=1[/tex]
[tex]$c+d\sqrt{10} =\frac{1}{a+b\sqrt{10} }[/tex]
[tex]$c+d \sqrt{10}=\frac{a-b\sqrt{10} }{(a+b\sqrt{10} )(a-b\sqrt{10} )}[/tex]
[tex]$c+d\sqrt{10} =\frac{a-b\sqrt{10} }{a^{2}-10b^{2}}[/tex]
[tex]$c+d\sqrt{10} =\frac{a}{a^{2}-10b^{2}} -\frac{b }{a^{2}-10b^{2}} \cdot \sqrt{10}[/tex]
Stąd wynika natychmiast, że:
[tex]$c=\frac{a}{a^{2}-10b^{2}} \ \wedge \ d=-\frac{b}{a^{2}-10b^{2}}[/tex]
