Odpowiedź:
[tex]$ \lim_{n \to \infty} \frac{(n+1)^{n}-(n+2)^{n}}{(n+2)^{n}-(n+3)^{n}}=\frac{1}{e}[/tex]
Szczegółowe wyjaśnienie:
Granica:
[tex]$ \lim_{n \to \infty} \frac{(n+1)^{n}-(n+2)^{n}}{(n+2)^{n}-(n+3)^{n}}=\lim_{n \to \infty} \frac{(n+2)^{n}[(\frac{n+1}{n+2} )^{n}-1]}{(n+2)^{n}[1-(\frac{n+3}{n+2} )^{n}]} =\lim_{n \to \infty} \frac{(\frac{n+1}{n+2} )^{n}-1}{1-(\frac{n+3}{n+2} )^{n}}[/tex]
Teraz sytuacja jest już prosta. Wystarczy, że policzymy granice licznika i mianownika. Dla licznika mamy:
[tex]$ \lim_{n \to \infty} [(\frac{n+1}{n+2} )^{n}-1]= \lim_{n \to \infty} (\frac{n+1}{n+2} )^{n}-1= \lim_{n \to \infty} [(1+\frac{-1}{n+2})^{\frac{n+2}{-1} } ]^{\frac{-n}{n+2} }-1=[/tex]
[tex]$= \lim_{n \to \infty} e^{\frac{-n}{n+2} }-1=e^{-1}-1=\frac{1}{e} -1[/tex]
Dla mianownika mamy:
[tex]$ \lim_{n \to \infty} [1-(\frac{n+3}{n+2} )^{n}]=1- \lim_{n \to \infty} [(1+\frac{1}{n+2} )^{n+2}]^{\frac{n}{n+2} }=1- \lim_{n \to \infty} e^{\frac{n}{n+2} }=1-e[/tex]
Stąd:
[tex]$\lim_{n \to \infty} \frac{(\frac{n+1}{n+2} )^{n}-1}{1-(\frac{n+3}{n+2} )^{n}}=\frac{\frac{1}{e} -1}{1-e} =\frac{\frac{1-e}{e} }{1-e}=\frac{1-e}{e(1-e)} =\frac{1}{e}[/tex]
