Odpowiedź:
[tex]x\approx-2,1413\\x\approx0,5151\\x\approx3,6262[/tex]
Szczegółowe wyjaśnienie:
Wyznaczę jedynie przybliżone rozwiązania. Wykorzystam Metodę Newtona.
Ogólny wzór iteracyjny:
[tex]$x_{k+1}=x_{k}-\frac{f(x_k)}{f'(x_k)} $[/tex]
Zapiszmy najpierw:
[tex]$f(x)=x^3-2x^2-7x+4$[/tex]
wyznaczmy pochodną:
[tex]$g(x)=\frac{\mathrm{d}f(x)}{\mathrm{d}x} =3x^2-4x-7$[/tex]
1. Przyjmijmy początkowe przybliżenie równe [tex]1[/tex]:
[tex]$x_1=1-\frac{f(1)}{g(1)} =0,5$[/tex]
[tex]$x_2=x_1-\frac{f(x_1)}{g(x_1)} \approx0,5152$[/tex]
[tex]$x_3=x_2-\frac{f(x_2)}{g(x_2)} \approx0,5151$[/tex]
Praktycznie nie dochodzi już do zmian, wyznaczyliśmy wartość przybliżoną jednego miejsca zerowego, możemy to sprawdzić:
[tex]$f(x_3)\approx0$[/tex]
2. Przyjmijmy przybliżenie początkowe równe [tex]-3[/tex]
[tex]$x_1=-3-\frac{f(-3)}{g(-3)}\approx-2,375 $[/tex]
[tex]$x_2=x_1-\frac{f(x_1)}{g(x_1)} \approx-2,1663$[/tex]
[tex]$x_3=x_2-\frac{f(x_2)}{g(x_2)} \approx-2,1417$[/tex]
[tex]$x_4=x_3-\frac{f(x_3)}{g(x_3)} \approx-2,1413$[/tex]
Praktycznie nie dochodzi już do zmian, wyznaczyliśmy wartość przybliżoną drugiego miejsca zerowego, możemy to sprawdzić:
[tex]$f(x_4)\approx0$[/tex]
3. Przyjmijmy przybliżenie początkowe równe [tex]5[/tex]
[tex]$x_1=5-\frac{f(5)}{g(5)}\approx4,0833 $[/tex]
[tex]$x_2=x_1-\frac{f(x_1)}{g(x_1)} \approx3,7029$[/tex]
[tex]$x_3=x_2-\frac{f(x_2)}{g(x_2)} \approx3,6289$[/tex]
[tex]$x_4=x_3-\frac{f(x_3)}{g(x_3)} \approx3,6262$[/tex]
Praktycznie nie dochodzi już do zmian, wyznaczyliśmy wartość przybliżoną trzeciego miejsca zerowego, możemy to sprawdzić:
[tex]$f(x_4)\approx0$[/tex]
Przybliżenia początkowe można dobierać dowolnie (ograniczeniem mogą być jedynie dziedziny funkcji oraz pochodnej), im dalej od miejsca zerowego wybierzemy przybliżenie początkowe, tym więcej iteracji trzeba wykonać.
