Pierwsza obserwacja:
Aby okrąg był styczny do ramion paraboli, jego środek powinien był położony na dodatniej półosi OY (ze względu na symetrię). Stąd pierwsza współrzędna jego środka jest równa 0.
Druga obserwacja:
Ze względu na symetrię wystarczy rozważyć jedynie połowę okręgu oraz jedno ramię paraboli. Ponadto wygodniej będzie przeanalizować zachowanie powyższych figur w układzie współrzędnych x(y) (zamiast y(x)), ponieważ wtedy można je zapisać w postaci funkcji. Mamy:
[tex]y=\dfrac{1}{2}x^2\\\\x^2=2y\\\\x=\sqrt{2y}[/tex]
Oraz:
[tex]x^2+(y-p)^2=4\\\\x^2=4-(y-p)^2\\\\x=\sqrt{4-(y-p)^2}[/tex]
Trzecia obserwacja:
Chcemy, aby uzyskane krzywe miały jeden punkt styczności. Zatem równanie:
[tex]\sqrt{2y}=\sqrt{4-(y-p)^2}[/tex]
powinno mieć jedno rozwiązanie. Po przekształceniu uzyskamy równanie kwadratowe, zatem jego wyróżnik musi być równy 0:
[tex]2y=4-(y-p)^2\\\\y^2-2yp+p^2+2y=4\\\\y^2+y(2-2p)+p^2-4=0\\\\\Delta=(2-2p)^2-4\cdot1\cdot(p^2-4)=4-8p+4p^2-4p^2+16=20-8p\\\\\Delta=0\\\\20-8p=0\\\\8p=20\\\\p=\dfrac{5}{2}[/tex]
Stąd szukane równanie okręgu to:
[tex]\boxed{x^2+\Big(y-\dfrac{5}{2}\Big)^2=4}[/tex]
-------------------------------------------------------------------
Inne rozwiązanie:
Weźmy punkt na dodatniej półosi OY:
[tex]P=(0,p),\quad p>0[/tex]
Punkty na paraboli są postaci:
[tex]\Big(x,\dfrac{1}{2}x^2\Big)[/tex]
Odległość punktu P od punktu na paraboli:
[tex]d=\sqrt{(x-0)^2+\Big(\dfrac{1}{2}x^2-p\Big)^2}=\sqrt{x^2+\dfrac{1}{4}x^4-px^2+p^2}=\\\\\\=\sqrt{\dfrac{1}{4}x^4+(1-p)x^2+p^2}[/tex]
Policzymy, kiedy ta odległość jest najmniejsza i równa 2. Wtedy funkcja pod pierwiastkiem powinna mieć najmniejszą wartość równą 4:
[tex]f(x)=\dfrac{1}{4}x^4+(1-p)x^2+p^2\\\\f'(x)=x^3+2(1-p)x[/tex]
Szukamy ekstremum:
[tex]f'(x)=0\\\\x^3+2(1-p)x=0\\\\x(x^2+2-2p)=0\\\\x=-\sqrt{2p-2}\quad \text{lub}\quad x=0\quad \text{lub}\quad x=\sqrt{2p-2}\quad\quad\text{dla }\ p>1[/tex]
Liczymy wartość funkcji w uzyskanym punkcie:
[tex]f(\sqrt{2p-2})=\dfrac{1}{4}(2p-2)^2-2(p-1)^2+p^2=-(p-1)^2+p^2=2p-1[/tex]
Jest to minimum globalne, ponieważ funkcja f jest ciągła i parzysta oraz:
[tex]f(0)=p^2>2p-1\quad\text{dla }\ p>1\\\\\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=+\infty[/tex]
Odległość ta jest równa 4, gdy:
[tex]2p-1=4\\\\p=\dfrac{5}{2}[/tex]
Stąd mamy równanie okręgu:
[tex]\boxed{x^2+\Big(p-\dfrac{5}{2}\Big)^2=4}[/tex]
