Odpowiedź :
Rozwiązanie:
Równanie:
[tex]y''(t)+y(t)=sint[/tex]
Warunki początkowe:
[tex]y'(0)=y(0)=0[/tex]
Rozwiązanie:
Niech [tex]\mathcal{L}\{y(t)\}=F(s)[/tex]. Nakładamy obustronnie transformatę Laplace'a :
[tex]\mathcal{L}\{y''(t)\}+\mathcal{L}\{y(t)\}=\mathcal{L}\{sint\}[/tex]
Najpierw obliczmy:
[tex]\mathcal{L}\{y''(t)\}=s^{2} \cdot \mathcal{L}\{y(t)\}-s \cdot y(0)-s^{0} \cdot y'(0)=s^{2} \cdot F(s)[/tex]
[tex]\mathcal{L}\{y(t)\}=F(s)[/tex]
[tex]$\mathcal{L}\{sint\}=\frac{1}{s^{2}+1}[/tex]
Zatem mamy:
[tex]$F(s) \cdot s^{2}+F(s)=\frac{1}{s^{2}+1}[/tex]
Wyznaczamy [tex]F(s)[/tex] :
[tex]$F(s)(s^{2}+1)=\frac{1}{s^{2}+1}[/tex]
[tex]$F(s)=\frac{1}{(s^{2}+1)^{2}}[/tex]
Nakładamy transformatę odwrotną:
[tex]$y(t)=\frac{sint-t \cdot cost}{2}[/tex]