Stosując transformatę Laplace`a rozwiązać poniższe równanie różniczkowe...
Przyjąć zerowe warunki początkowe​


Stosując Transformatę Laplacea Rozwiązać Poniższe Równanie RóżniczkowePrzyjąć Zerowe Warunki Początkowe class=

Odpowiedź :

Rozwiązanie:

Równanie:

[tex]y''(t)+y(t)=sint[/tex]

Warunki początkowe:

[tex]y'(0)=y(0)=0[/tex]

Rozwiązanie:

Niech [tex]\mathcal{L}\{y(t)\}=F(s)[/tex]. Nakładamy obustronnie transformatę Laplace'a :

[tex]\mathcal{L}\{y''(t)\}+\mathcal{L}\{y(t)\}=\mathcal{L}\{sint\}[/tex]

Najpierw obliczmy:

[tex]\mathcal{L}\{y''(t)\}=s^{2} \cdot \mathcal{L}\{y(t)\}-s \cdot y(0)-s^{0} \cdot y'(0)=s^{2} \cdot F(s)[/tex]

[tex]\mathcal{L}\{y(t)\}=F(s)[/tex]

[tex]$\mathcal{L}\{sint\}=\frac{1}{s^{2}+1}[/tex]

Zatem mamy:

[tex]$F(s) \cdot s^{2}+F(s)=\frac{1}{s^{2}+1}[/tex]

Wyznaczamy [tex]F(s)[/tex] :

[tex]$F(s)(s^{2}+1)=\frac{1}{s^{2}+1}[/tex]

[tex]$F(s)=\frac{1}{(s^{2}+1)^{2}}[/tex]

Nakładamy transformatę odwrotną:

[tex]$y(t)=\frac{sint-t \cdot cost}{2}[/tex]

Viz Inne Pytanie