Metoda czynnika całkującego:
[tex]\dfrac{dy}{dx}\cos x+y\sin x=1[/tex]
Sprowadzamy równanie do innej postaci:
[tex](y\sin x-1)dx+(\cos x)dy=0[/tex]
Wprowadzamy oznaczenia:
[tex]P(x,y)=y\sin x-1\\\\Q(x,y)=\cos x[/tex]
Sprawdzamy czy równanie jest zupełne:
[tex]\dfrac{\partial P}{\partial y}=\sin x\\\\\dfrac{\partial Q}{\partial x}=-\sin x[/tex]
Równość nie zachodzi, więc stosujemy metodę czynnika całkującego, aby sprowadzić równanie do równania zupełnego. Najpierw bierzemy różnicę:
[tex]P_y - Q_x = 2\sin x[/tex]
Dzielimy to przez P lub Q tak, aby otrzymać wyrażenie zależne tylko od jednej zmiennej. Gdy podzielimy przez P, będziemy mieli x oraz y w wyrażeniu. Gdy podzielimy przez Q, otrzymamy wyrażenie zależne tylko od x, stąd:
[tex]\dfrac{P_y - Q_x}{Q}=\dfrac{2\sin x}{\cos x}=2\text{tg }x[/tex]
Teraz rozwiązujemy równanie postaci:
[tex]\dfrac{\mu'}{\mu}=2\text{tg }x[/tex]
Rozwiązaniem tego równania jest wyrażenie, przez które należy pomnożyć równanie wyjściowe, aby uzyskać równanie zupełne. Rozwiązujemy:
[tex]\dfrac{d\mu}{\mu}=2\text{tg }x\ dx\\\\ln|\mu|=2\int\text{tg }x\ dx[/tex]
Liczymy całkę:
[tex]\int \text{tg }x\ dx=\int\dfrac{\sin x}{\cos x}dx=\begin{array}{|c|}t=\cos x\\dt=-\sin x \ dx\end{array}=\\\\\\=\int-\dfrac{1}{t}dt=-\ln|t|+\ln C=-\ln|\cos x|+\ln C=\ln\dfrac{C}{|\cos x|}[/tex]
Stąd:
[tex]\ln|\mu|=\ln\dfrac{C^2}{\cos^2 x}\\\\\mu=\dfrac{C^2}{\cos^2 x}[/tex]
Bierzemy dowolną stałą, np. C=1:
[tex]\mu(x)=\dfrac{1}{\cos^2 x}[/tex]
Mnożymy równanie wyjściowe przez uzyskany czynnik:
[tex]\Big(\dfrac{y\sin x-1}{\cos^2 x}\Big)dx+\Big(\dfrac{1}{\cos x}\Big)dy=0[/tex]
Równanie jest zupełne, ponieważ:
[tex]P(x,y)=\dfrac{y\sin x-1}{\cos^2 x}\\\\Q(x,y)=\dfrac{1}{\cos x}\\\\P_y=Q_x=\dfrac{\sin x}{\cos^2 x}[/tex]
Rozwiązujemy równanie zupełne:
[tex]\dfrac{\partial F}{\partial y}=Q(x,y)\\\\\dfrac{\partial F}{\partial y}=\dfrac{1}{\cos x}\\\\F(x,y)=\dfrac{y}{\cos x}+\varphi(x)[/tex]
Liczymy teraz pochodną cząstkową po zmiennej x:
[tex]\dfrac{\partial F}{\partial x}=\dfrac{y\sin x}{\cos^2 x}+\varphi'(x)[/tex]
Porównujemy z naszym P:
[tex]\dfrac{y\sin x}{\cos^2 x}+\varphi'(x)=\dfrac{y\sin x}{\cos^2 x}-\dfrac{1}{\cos^2 x}\\\\\varphi'(x)=-\dfrac{1}{\cos^2 x}\\\\\varphi(x)=-\text{tg } x[/tex]
Czyli mamy:
[tex]F(x,y)=\dfrac{y}{\cos x}-\dfrac{\sin x}{\cos x}[/tex]
Przyrównujemy to do stałej C:
[tex]\dfrac{y}{\cos x}-\dfrac{\sin x}{\cos x}=C[/tex]
Rozwiązanie:
[tex]\boxed{y=C\cos x+\sin x}[/tex]
