Pochodna funkcji:
[tex]f'(x)=-x^2+4x[/tex]
Przekształcamy równanie prostej do postaci kierunkowej:
[tex]x+3y-6=0\\\\3y=-x+6\\\\y=-\dfrac{1}{3}x+2[/tex]
Współczynnik kierunkowy prostej prostopadłej:
[tex]a\cdot\Big(-\dfrac{1}{3}\Big)=-1\\\\a=3[/tex]
Szukamy dla jakich x pochodna jest równa 3:
[tex]-x^2+4x=3\\\\x^2-4x+3=0\\\\\Delta=(-4)^2-4\cdot1\cdot3=16-12=4\\\\\sqrt{\Delta}=2\\\\x_1=\dfrac{4-2}{2}=1\\\\x_2=\dfrac{4+2}{2}=3[/tex]
Zatem proste są styczne w punktach:
[tex]y_1=-\dfrac{1}{3}\cdot1^3+2\cdot1^2-1=\dfrac{2}{3}\\\\A=\Big(1,\dfrac{2}{3}\Big)\\\\y_2=-\dfrac{1}{3}\cdot3^3+2\cdot3^2-1=8\\\\B=(3,8)[/tex]
Równanie pierwszej stycznej:
[tex]y=ax+b\\\\\dfrac{2}{3}=3\cdot1+b\\\\b=-\dfrac{7}{3}\\\\\boxed{y=3x-\dfrac{7}{3}}[/tex]
Równanie drugiej stycznej:
[tex]y=ax+b\\\\8=3\cdot3+b\\\\b=-1\\\\\boxed{y=3x-1}[/tex]
