Mamy równanie:
[tex]x^2-2ax-a+6=0[/tex]
Równanie ma 2 różne rozwiązania, gdy:
[tex]\Delta>0\\\\\Delta=(-2a)^2-4\cdot1\cdot(-a+6)=4a^2+4a-24\\\\4a^2+4a-24>0\\\\a^2+a-6>0\\\\\Delta_r=1^2-4\cdot1\cdot(-6)=1+24=25\\\\\sqrt{\Delta}_r}=5\\\\a_1=\dfrac{-1-5}{2}=-3\\\\a_2=\dfrac{-1+5}{2}=2\\\\a\in(-\infty,-3)\cup(2,+\infty)[/tex]
Rozwiązania powinny być większe od -1, czyli:
[tex]x_1>-1\quad\text{oraz}\quad x_2>-1\\\\x_1+1>0\quad \text{oraz}\quad x_2+1>0\\\\(x_1+1)+(x_2+1)>0\quad \text{oraz}\quad (x_1+1)(x_2+1)>0[/tex]
Korzystamy z tego, że dwie liczby są dodatnie wtedy, gdy ich suma oraz iloczyn są dodatnie. Więc po pierwsze:
[tex]x_1+x_2>-2\\\\\dfrac{2a}{1}>-2\\\\2a>-2\\\\a>-1\\\\a\in(-1,+\infty)[/tex]
Skorzystaliśmy ze wzoru Viete'a na sumę pierwiastków. I po drugie:
[tex]x_1x_2+x_1+x_2>-1\\\\\dfrac{-a+6}{1}+\dfrac{2a}{1}>-1\\\\a+6>-1\\\\a>-7\\\\a\in(-7,+\infty)[/tex]
Bierzemy część wspólną wszystkich trzech warunków:
[tex]\boxed{a\in(2,+\infty)}[/tex]
