Mamy dane:
[tex]a=5\ [\text{cm}]\\\\b=5\sqrt{3}\ [\text{cm}]\\\\\alpha=30^{\circ}[/tex]
Liczymy pole tego trójkąta:
[tex]P=\dfrac{1}{2}ab\sin\alpha=\dfrac{1}{2}\cdot5\cdot5\sqrt{3}\cdot\dfrac{1}{2}=\dfrac{25\sqrt{3}}{4}\ [\text{cm}^2][/tex]
Wyznaczamy długość trzeciego boku, korzystając z twierdzenia cosinusów:
[tex]c^2=a^2+b^2-2ab\cos\alpha\\\\c^2=5^2+(5\sqrt{3})^2-2\cdot5\cdot5\sqrt{3}\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{2}\\\\c^2=25+75-75\\\\c^2=25\\\\c=5\ [\text{cm}][/tex]
Wykorzystamy wzór:
[tex]P=p\cdot r[/tex],
gdzie p to połowa obwodu trójkąta, czyli:
[tex]p=\dfrac{1}{2}\cdot(5+5+5\sqrt{3})=\dfrac{10+5\sqrt{3}}{2}\ [\text{cm}][/tex]
Stąd:
[tex]\dfrac{25\sqrt{3}}{4}=\dfrac{10+5\sqrt{3}}{2}\cdot r\\\\25\sqrt{3}=2(10+5\sqrt{3})r\\\\25\sqrt{3}=2\cdot5\cdot(2+\sqrt{3})\cdot r\\\\5\sqrt{3}=2(2+\sqrt{3})r\\\\r=\dfrac{5\sqrt{3}\cdot(2-\sqrt{3})}{2(2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3})}\\\\\\\boxed{r=\dfrac{10\sqrt{3}-15}{2}\ [\text{cm}]}[/tex]
