Aby wyznaczyć monotoniczność ciągu, należy zbadać znak różnicy:
[tex]a_{n+1}-a_n[/tex]
Jeżeli otrzymamy wyrażenie, które jest dodatnie dla wszystkich liczb naturalnych, to mamy ciąg rosnący. Jeżeli uzyskamy wyrażenie, które jest ujemne dla wszystkich liczb naturalnych, to mamy ciąg malejący.
[tex]a_n=\dfrac{n+3}{3n+4}[/tex]
Sprawdzamy monotoniczność:
[tex]a_{n+1}-a_n=\dfrac{(n+1)+3}{3(n+1)+4}-\dfrac{n+3}{3n+4}=\dfrac{n+4}{3n+7}-\dfrac{n+3}{3n+4}=\\\\\\=\dfrac{(n+4)(3n+4)}{(3n+4)(3n+7)}-\dfrac{(n+3)(3n+7)}{(3n+4)(3n+7)}=\\\\\\=\dfrac{3n^2+16n+16}{(3n+4)(3n+7)}-\dfrac{3n^2+16n+21}{(3n+4)(3n+7)}=\\\\\\=\dfrac{-5}{(3n+4)(3n+7)}<0\quad\text{dla }n \in \mathbb{N}[/tex]
Uzasadnienie:
Mianownik tego ułamka to funkcja:
[tex]f(n)=(3n+4)(3n+7)[/tex]
Jest to parabola o ramionach skierowanych w górę, której miejscami zerowymi są liczby:
[tex]-\dfrac{7}{3},\ -\dfrac{4}{3}[/tex]
Zatem dla:
[tex]n\in \Big(-\dfrac{4}{3},+\infty\Big)[/tex]
funkcja przyjmuje wartości dodatnie. W szczególności dzieje się tak dla wszystkich liczb naturalnych.
Jest to ciąg malejący.
