Odpowiedź:
[tex]$y(x)=xtg(\frac{x}{2} )+C \cdot tg(\frac{x}{2} )[/tex]
Szczegółowe wyjaśnienie:
Równanie:
[tex]$\frac{dy}{dx} -\frac{y}{sinx} =tg(\frac{x}{2} )[/tex]
Podstawmy:
[tex]$t=ctg(\frac{x}{2} )[/tex]
[tex]$\frac{dt}{dx} =-\frac{1}{2sin^{2}(\frac{x}{2} )} =-\frac{ctg(\frac{x}{2} )}{sinx}[/tex]
Mnożąc obustronnie przez [tex]t[/tex] mamy:
[tex]$\frac{dy}{dx} \cdot ctg(\frac{x}{2} )-y \cdot \frac{ctg(\frac{x}{2} )}{sinx} =1[/tex]
[tex]$\frac{dy}{dx} \cdot ctg(\frac{x}{2} )+y \cdot \frac{d}{dx}(ctg(\frac{x}{2} ))=1[/tex]
Teraz stosujemy wzór:
[tex]f'(x)g(x)+f(x)g'(x)=(f(x)g(x))'[/tex]
Otrzymujemy:
[tex]$\frac{d}{dx} (y \cdot ctg(\frac{x}{2} ))=1[/tex]
Całkujemy obustronnie:
[tex]$y \cdot ctg(\frac{x}{2} )=\int dx[/tex]
[tex]$y \cdot ctg(\frac{x}{2} )=x+C[/tex]
[tex]$y(x)=\frac{x+C}{ctg(\frac{x}{2} )} =(x+C)tg(\frac{x}{2} )=xtg(\frac{x}{2} )+C \cdot tg(\frac{x}{2} )[/tex]
