Odpowiedź:
[tex]$y(t)=\frac{1}{4} e^{3t}-\frac{1}{3} e^{2t}+\frac{1}{12} e^{-t}[/tex]
Szczegółowe wyjaśnienie:
Równanie:
[tex]y''(t)-2y'(t)-3y(t)=e^{2t}[/tex]
Warunki początkowe:
[tex]y'(0)=y(0)=0[/tex]
Rozwiązanie:
Niech:
[tex]\mathcal{L}\{y(t)\}=F(s)[/tex]
Nakładamy obustronnie transformatę Laplace'a :
[tex]\mathcal{L}\{y''(t)\}-2\mathcal{L}\{y'(t)\}-3\mathcal{L}\{y(t)\}=\mathcal{L}\{e^{2t}\}[/tex]
Najpierw obliczmy:
[tex]$\mathcal{L}\{y''(t)\}=s^{2} \cdot \mathcal{L}\{y(t)\}-s \cdot y(0)-s^{0} \cdot y'(0)=s^{2} \cdot F(s)[/tex]
[tex]\mathcal{L}\{y'(t)\}=s \cdot \mathcal{L}\{y(t)\}-s^{0} \cdot y(0)=s \cdot F(s)[/tex]
[tex]\mathcal{L}\{y(t)\}=F(s)[/tex]
[tex]$\mathcal{L}\{e^{2t}\}=\frac{1}{s-2}[/tex]
Zatem mamy:
[tex]$s^{2} \cdot F(s)-2s \cdot F(s)-3F(s)=\frac{1}{s-2}[/tex]
Wyznaczamy z tego równania [tex]F(s)[/tex] :
[tex]$F(s)(s^{2}-2s-3)=\frac{1}{s-2}[/tex]
[tex]$F(s)=\frac{1}{(s-2)(s^{2}-2s-3)} =\frac{1}{(s-2)(s+1)(s-3)}[/tex]
Teraz robimy rozkład prawej strony na ułamki proste:
[tex]$\frac{1}{(s-2)(s+1)(s-3)}=\frac{A}{s-3} +\frac{B}{s-2} +\frac{C}{s+1}[/tex]
Mnożymy obustronnie przez mianownik:
[tex]1=A(s-2)(s+1)+B(s-3)(s+1)+C(s-2)(s-3)[/tex]
[tex]1=A(s^{2}-s-2)+B(s^{2}-2s-3)+C(s^{2}-5s+6)[/tex]
[tex]1=s^{2}(A+B+C)+s(-A-2B-5C)-2A-3B+6C[/tex]
Mamy zatem układ równań:
[tex]\left\{\begin{array}{ccc}A+B+C=0\\A+2B+5C=0\\-2A-3B+6C=1\end{array}\right[/tex]
Po dodaniu wszystkich równań stronami mamy:
[tex]$12C=1 \Rightarrow C=\frac{1}{12}[/tex]
Po odjęciu stronami dwóch pierwszych równań mamy:
[tex]-B-4C=0\\[/tex]
[tex]$B=-4C=-4 \cdot \frac{1}{12} =-\frac{1}{3}[/tex]
Wstawiając wartości do pierwszego równania:
[tex]$A=\frac{1}{4}[/tex]
Zatem równanie wygląda tak:
[tex]$F(s)=\frac{\frac{1}{4} }{s-3} -\frac{\frac{1}{3} }{s-2} +\frac{\frac{1}{12} }{s+1}[/tex]
Teraz nakładamy transformatę odwrotną:
[tex]$\mathcal{L}^{-1}\{F(s)\}=\mathcal{L}^{-1}\{\frac{\frac{1}{4} }{s-3} \}-\mathcal{L}^{-1}\{\frac{\frac{1}{3} }{s-2} \}+\mathcal{L}^{-1}\{\frac{\frac{1}{12} }{s+1} \}[/tex]
[tex]$y(t)=\frac{1}{4} \mathcal{L}^{-1}\{\frac{1}{s-3} \}-\frac{1}{3}\mathcal{L}^{-1}\{\frac{ 1}{s-2} \}+\frac{1}{12}\mathcal{L}^{-1}\{\frac{ 1}{s+1} \}[/tex]
[tex]$y(t)=\frac{1}{4} e^{3t}-\frac{1}{3} e^{2t}+\frac{1}{12} e^{-t}[/tex]
