Najpierw przekształcamy równanie:
[tex]x\dfrac{dy}{dx}+y=x\sin x\\\\y-x\sin x+x\dfrac{dy}{dx}=0\\\\(y-x\sin x)dx+xdy=0[/tex]
Wprowadzamy oznaczenia:
[tex]P(x,y)=y-x\sin x\\\\Q(x,y)=x[/tex]
Równanie tej postaci nazywamy równaniem zupełnym, jeżeli pochodna cząstkowa po y z P(x,y) jest równa pochodnej cząstkowej po x z Q(x,y). Sprawdzamy:
[tex]\dfrac{\partial}{\partial y}P(x,y)=1\\\\\dfrac{\partial}{\partial x}Q(x,y)=1[/tex]
Zatem mamy równanie zupełne. Wiemy, że zachodzą równości:
[tex]\dfrac{\partial F}{\partial x}=P(x,y)\quad\text{oraz}\quad \dfrac{\partial F}{\partial y}=Q(x,y)[/tex]
Weźmiemy na warsztat tę drugą równość. Wobec tego mamy:
[tex]\dfrac{\partial F}{\partial y}=x[/tex]
Całkujemy stronami po y i otrzymujemy:
[tex]F(x,y)=xy+\varphi(x)[/tex]
Stała może być funkcją zależną od x. Następnie różniczkujemy otrzymany wynik po zmiennej x:
[tex]\dfrac{\partial F}{\partial x}=y+\varphi'(x)[/tex]
Porównujemy to z naszym P(x,y):
[tex]y+\varphi'(x)=y-x\sin x\\\\\varphi'(x)=-x\sin x[/tex]
Liczymy całkę z funkcji po prawej stronie powyższej równości:
[tex]\varphi (x)=\int-x \sin x dx=\begin{array}{|c|c|}u'=-\sin x&v=x\\u=\cos x& v'=1\end{array}=\\\\\\=x\cos x-\int\cos xdx=x\cos x-\sin x[/tex]
Zastosowaliśmy całkowanie przez części (najpierw mnożymy u przez v, później odejmujemy całkę iloczynu tych na dole). Mamy wynik:
[tex]F(x,y)=xy+x\cos x-\sin x[/tex]
Rozwiązanie równania zupełnego to:
[tex]F(x,y)=C[/tex],
gdzie C jest dowolną stałą. Wobec tego:
[tex]xy+x\cos x-\sin x=C[/tex]
Możemy zostawić w takiej postaci albo wyznaczyć zmienną y:
[tex]xy=C+\sin x-x\cos x\\\\\boxed{y=\dfrac{C}{x}+\dfrac{\sin x}{x}-\cos x}[/tex]
