Mamy:
[tex]0,(73)<x<0,(75)[/tex]
Zatem w szczególności:
[tex]x=0,75=\dfrac{3}{4}[/tex]
Poszukajmy takiej liczby a, dla której:
[tex]x\cdot a=\sqrt{3}[/tex]
Otrzymujemy:
[tex]\dfrac{3}{4}\cdot a=\sqrt{3}\\\\a=\dfrac{4\sqrt{3}}{3}\approx2,3=\dfrac{23}{10}=:b[/tex]
Zatem liczbę x możemy przybliżyć wyrażeniem postaci:
[tex]x\approx \dfrac{\sqrt{3}}{b}=\dfrac{\sqrt{3}}{\dfrac{23}{10}}=\dfrac{10}{23}\cdot \sqrt{3}=\boxed{\dfrac{10\sqrt{3}}{23}}\approx0,753\in(0,(73);0,(75))[/tex]
Zauważmy, że liczba 10/23 jest wymierna jako iloraz dwóch liczb całkowitych. Natomiast liczba pierwiastek z 3 jest niewymierna. Iloczyn liczby wymiernej i niewymiernej jest liczbą niewymierną. Podobnie możemy uzyskać inne liczby, przyjmując zamiast pierwiastka z 3 jakąś inną liczbę niewymierną. Zatem szukany przykład to:
[tex]\dfrac{10\sqrt{3}}{23}[/tex]
Ponadto możemy wskazać dowolną liczbę postaci:
[tex]0,747447444744447444447...[/tex]
Między siódemkami są coraz dłuższe ciągi czwórek. Podana liczba ma rozwinięcie dziesiętne nieskończone i nieokresowe, zatem jest niewymierna.
